Considere as funções:
f(x)=x^2-16 g(x)=raiz[3]x+4 h(x)=2^x-16
Determinar a partir da definição de derivadas:
As derivadas das funções no ponto x1=4;

Passo 1

Estamos com três funções: f(x)=x^2-16, g(x)=raiz[3]x+4=(x+4)^1/3 e h(x)=2^x-16, e queremos as derivadas em x1=4. Para isso vamos usar a definição de derivada: f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h

Passo 2

Calculando f'(4):
Aplicamos a definição a f:
f(4+h)-f(4)h=(4+h)^2-16-(4^2-16)h=16+8h+h^2-16-(16-16)h=8h+h^2h=8+h

Passo 3

Fazendo hto0 vem f'(4)=8.

Passo 4

Calculando g'(4):
Para g(x)=(x+4)^1/3, temos g(4)=2. Pela definição:
g(4+h)-g(4)h=(8+h)^1/3-2h

Passo 5

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado cúbico (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3:
( (8+h)^1/3-2)( (8+h)^2/3+2(8+h)^1/3+4 )h((8+h)^2/3+2(8+h)^1/3+4)=(8+h)-8h((8+h)^2/3+2(8+h)^1/3+4)=1(8+h)^2/3+2(8+h)^1/3+4

Passo 6

Fazendo hto0
(8)^1/3=2,(8)^2/3=4,
logo g'(4)=1/(4+2cdot2+4)=1/12.

Passo 7

Calculando h'(4):
Para h(x)=2^x-16, use-se a propriedade da derivada de 2^x:
h'(4)=limhto02^4+h-2^4h=2^4limhto02^h-1h=16ln2

Resposta

f’(4)=8; \quad g’(4)=\tfrac{1}{12}; \quad h’(4)=16\ln2

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