Considere as funções abaixo, calcule as derivadas solicitadas.
Seja n(a)=E(a-F)^{4}, calcule \frac{d n}{d a};

Passo 1

O enunciado diz que temos a função
n(a)=E\bigl(a-F\bigr)^{4},
onde E é o operador esperança em relação à variável aleatória F. O objetivo é encontrar \frac{d n}{d a}. Para isso vamos usar a linearidade da derivada e do operador esperança, além da regra da cadeia para derivar a potência.

Passo 2

Como E é um operador de soma/integral linear e a derivada em relação a a incide apenas no termo (a-F)^{4}, podemos trocar derivada e esperança:
\frac{d n}{d a} =\frac{d}{d a}\,E\bigl(a-F\bigr)^{4} =E\!\Bigl[\frac{d}{d a}\,(a-F)^{4}\Bigr].

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para (a-F)^{4}, tratando F como constante em relação a a, obtemos
\frac{d}{d a}\,(a-F)^{4} =4\,(a-F)^{3}.

Passo 4

Substituindo na esperança, vem
\frac{d n}{d a} =E\bigl[4\,(a-F)^{3}\bigr] =4\,E\bigl[(a-F)^{3}\bigr].

Resposta

\frac{d n}{d a}=4\,E\bigl[(a-F)^{3}\bigr].

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