Encontre os pontos x, se houver, nos quais f não é contínua.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos onde a função por partes f(x) não é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes: vamos usar a definição de continuidade em pontos interiores de cada trecho e verificar os limites laterais no ponto de transição x=4. A função é dada por
f(x)=2x+3,&x<=47+16x,&x>4

Passo 2

Em cada trecho interior (x<4 e x>4) temos, respectivamente, um polinômio e uma função racional. Polinômios são contínuos em todo o ℝ, e funções racionais são contínuas em seu domínio (denominador≠0). No segundo trecho x>4, o denominador x nunca é zero, então cada expressão é contínua em seu intervalo.

Passo 3

No ponto de transição x=4 devemos comparar limites laterais e valor da função. Calculamos:
limxto4^-f(x)=2cdot4+3=11, f(4)=2cdot4+3=11,
e
limxto4^+f(x)=7+164=7+4=11
Como os dois limites laterais existem e coincidem com f(4), a função é contínua em x=4.

Resposta

Não há pontos de descontinuidade; f é contínua em todo ℝ.

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