Considere as funções
f(x)=-34 x+1 e g(x)=x^2
Calcule a área da região delimitada pelos gráficos de f(x) e g(x).

Passo 1

Vamos lá! A questão nos dá duas funções:
f(x) = -34x + 1 e g(x) = x^2
E pede para calcular a área da região que está entre os gráficos dessas duas funções. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde as funções se cruzam e depois calcular a área entre esses pontos usando integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde as duas funções se interceptam, ou seja, encontrar os valores de x que satisfazem f(x) = g(x) . Vamos igualar as duas funções:
-34x + 1 = x^2

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de x . Primeiro, trazemos todos os termos para um lado da equação:
x^2 + 34x - 1 = 0

Passo 4

Essa é uma equação quadrática da forma ax^2 + bx + c = 0 . Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = 34 e c = -1 .

Passo 5

Vamos calcular o discriminante ( De<a ) primeiro:
De<a = (34)^2 - 4 times 1 times (-1) = 916 + 4 = 7316

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de x :
x = -34 pm raiz 7316 2 = -34 pm raiz73 4 2 = -3 pm raiz73 8
Então, os pontos de interseção são:
x = -3 + raiz73 8 e x = -3 - raiz73 8
Calculando numericamente:
raiz73 approx 8,544
Assim,
x approx -3 + 8,544 8 approx 5,5448 approx 0,693
x approx -3 - 8,544 8 approx -11,5448 approx -1,443

Passo 7

Agora que temos os pontos de interseção ( x approx -1,443 e x approx 0,693 ), vamos calcular a área entre as curvas. A área A é dada por:
A = integrala^b [f(x) - g(x)] , dx
onde a = -1,443 e b = 0,693 .

Passo 8

Substituindo f(x) e g(x) :
A = integral-1,443^0,693 ( -34x + 1 - x^2 ) dx

Passo 9

Vamos calcular a integral:
A = [ -38x^2 + x - 13x^3 ]-1,443^0,693
Calculando para x = 0,693 :
-38(0,693)^2 + 0,693 - 13(0,693)^3 approx -0,180 + 0,693 - 0,111 approx 0,402
Calculando para x = -1,443 :
-38(-1,443)^2 + (-1,443) - 13(-1,443)^3 approx -0,780 - 1,443 + 1,000 approx -1,223

Passo 10

Agora, subtraímos os resultados para encontrar a área:
A = 0,402 - (-1,223) = 1,625

Resposta

A área da região delimitada pelos gráficos de f(x) e g(x) é aproximadamente 1,625 unidades de área.

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