Considere as funções
Calcule a área da região delimitada pelos gráficos de
e
.
Passo 1
Vamos lá! A questão nos dá duas funções:
E pede para calcular a área da região que está entre os gráficos dessas duas funções. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde as funções se cruzam e depois calcular a área entre esses pontos usando integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde as duas funções se interceptam, ou seja, encontrar os valores de
que satisfazem
. Vamos igualar as duas funções:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
. Primeiro, trazemos todos os termos para um lado da equação:
Passo 4
Essa é uma equação quadrática da forma
. Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Passo 5
Vamos calcular o discriminante (
) primeiro:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar os valores de
:
Então, os pontos de interseção são:
Calculando numericamente:
Assim,
Passo 7
Agora que temos os pontos de interseção (
e
), vamos calcular a área entre as curvas. A área
é dada por:
onde
e
.
Passo 8
Substituindo
e
:
Passo 9
Vamos calcular a integral:
Calculando para
:
Calculando para
:
Passo 10
Agora, subtraímos os resultados para encontrar a área:
Resposta
A área da região delimitada pelos gráficos de
e
é aproximadamente 1,625 unidades de área.