Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v das funções:
z=x^2+x y+y^2, para x=u+v e y=u v;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão usando a Regra da Cadeia. A gente tem a função z = x^2 + xy + y^2 , onde x = u + v e y = u v . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos permite calcular a derivada de uma função composta. No nosso caso, z depende de x e y , que por sua vez dependem de u e v . Então, para encontrar partial zpartial u , por exemplo, precisamos considerar como z muda com x e y , e como x e y mudam com u .

Passo 3

Vamos calcular partial zpartial u . Usando a Regra da Cadeia:
partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u
Agora, vamos encontrar cada uma dessas derivadas parciais:
  • partial zpartial x = 2x + y
  • partial zpartial y = x + 2y
  • partial xpartial u = 1 (porque x = u + v )
  • partial ypartial u = v (porque y = u v )

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão da Regra da Cadeia:
partial zpartial u = (2x + y) cdot 1 + (x + 2y) cdot v
Agora, vamos simplificar essa expressão:
partial zpartial u = 2x + y + v x + 2v y

Passo 5

Vamos agora simplificar mais, agrupando os termos semelhantes:
partial zpartial u = 2x + y + v x + 2v y = (2 + v) x + (1 + 2v) y
Lembrando que x = u + v e y = u v , podemos substituir de volta:
partial zpartial u = (2 + v)(u + v) + (1 + 2v)(u v)

Passo 6

Distribuindo os termos:
partial zpartial u = 2(u + v) + v(u + v) + u v + 2v(u v)
= 2u + 2v + u v + v^2 + u v + 2u v^2
Finalmente, somando os termos semelhantes:
partial zpartial u = 2u + 2v + 2u v + v^2 + 2u v^2

Passo 7

Agora, vamos calcular partial zpartial v usando a mesma abordagem da Regra da Cadeia:
partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v
Já temos:
  • partial zpartial x = 2x + y
  • partial zpartial y = x + 2y
  • partial xpartial v = 1 (porque x = u + v )
  • partial ypartial v = u (porque y = u v )

Passo 8

Substituindo na expressão:
partial zpartial v = (2x + y) cdot 1 + (x + 2y) cdot u
Simplificando:
partial zpartial v = 2x + y + u x + 2u y

Passo 9

Agrupando os termos semelhantes:
partial zpartial v = 2x + y + u x + 2u y = (2 + u) x + (1 + 2u) y
Substituindo x = u + v e y = u v :
partial zpartial v = (2 + u)(u + v) + (1 + 2u)(u v)

Passo 10

Distribuindo os termos:
partial zpartial v = 2(u + v) + u(u + v) + u v + 2u(u v)
= 2u + 2v + u^2 + u v + u v + 2u^2 v
Somando os termos semelhantes:
partial zpartial v = 2u + 2v + u^2 + 2u v + 2u^2 v

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 2u + 2v + 2u v + v^2 + 2u v^2
partial zpartial v = 2u + 2v + u^2 + 2u v + 2u^2 v

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