Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais
e
das funções:
, para
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão usando a Regra da Cadeia. A gente tem a função
, onde
e
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos permite calcular a derivada de uma função composta. No nosso caso,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
. Então, para encontrar
, por exemplo, precisamos considerar como
muda com
e
, e como
e
mudam com
.
Passo 3
Vamos calcular
. Usando a Regra da Cadeia:
Agora, vamos encontrar cada uma dessas derivadas parciais:
-
-
-
(porque ) -
(porque )
Passo 4
Substituindo esses valores na expressão da Regra da Cadeia:
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Vamos agora simplificar mais, agrupando os termos semelhantes:
Lembrando que
e
, podemos substituir de volta:
Passo 6
Distribuindo os termos:
Finalmente, somando os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, vamos calcular
usando a mesma abordagem da Regra da Cadeia:
Já temos:
-
-
-
(porque ) -
(porque )
Passo 8
Substituindo na expressão:
Simplificando:
Passo 9
Agrupando os termos semelhantes:
Substituindo
e
:
Passo 10
Distribuindo os termos:
Somando os termos semelhantes:
Resposta
As derivadas parciais são: