Represente graficamente a região R limitada por y=e^x, pelo eixo x, e pelas retas x=0 e x=ln 3. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado estabelece a região R limitada pela curva y=e^x, pelo eixo x (isto é, y=0), e pelas retas verticais x=0 e x=ln 3.
Vamos calcular o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x usando o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, representamos graficamente a região: para x variando de 0 até ln 3, traçamos a função y=e^x, que passa por (0,1) e (ln 3,3), e sombreia a área entre essa curva e o eixo x. As linhas x=0 e x=ln 3 fecham a região.

Passo 3

No método dos discos, cada seção transversal perpendicular ao eixo x é um círculo de raio igual a y=e^x. A área desse disco é
A(x)=pil(e^xr)^2=pi e^2x

Passo 4

Logo, o volume V do sólido é dado por
V=integralx=0^ln 3A(x),dx=piintegral0^ln 3e^2x,dx
Calculamos a integral:
integral0^ln 3e^2x,dx=[tfrac12e^2x]0^ln 3=tfrac12l(e^2ln 3-e^0r)=tfrac12(9-1)=4

Passo 5

Portanto,
V=picdot4=4pi

Resposta

O volume do sólido gerado é 4pi.

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