Seja g(x)=integralx^raizx e^s^2 d s, x>0. Determine g^prime(x). Dica: Use o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

O enunciado define a função
g(x) = integralx^raizx e^s^2 ,ds, x>0
e pede g'(x). O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra de diferenciação de integrais com limites que dependem de x (regra de Leibniz). Vamos identificar o integrando e as funções que definem os limites de integração.

Passo 2

Definimos
f(s) = e^s^2, a(x)=x, b(x)=raizx
Pela regra de Leibniz,
ddxintegrala(x)^b(x) f(s),ds = fl(b(x)r),b'(x);-;fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

Calculamos b'(x). Como b(x)=raizx=x^1/2,
b'(x)=12x^-1/2=12raizx
Além disso,
fl(b(x)r)=e^l(raizxr)^2=e^x

Passo 4

Agora calculamos a'(x) e f(a(x)). Como a(x)=x, tem-se
a'(x)=1, fl(a(x)r)=e^x^2

Passo 5

Substituindo na fórmula de Leibniz:
g'(x) = e^x,12raizx ;-;e^x^2cdot 1 = e^x2raizx ;-; e^x^2

Resposta

g'(x)=e^x2raizx ;-; e^x^2

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