Para trabalhar com um objeto em queda livre no ensino médio, despreza-se a resistência do ar e sua velocidade é dada por v(t)=v0+g t, em que t é o tempo, v0 é a velocidade inicial e g é a aceleração da gravidade. Em uma situação mais fiel, onde a resistência do ar é considerada, a modelagem nos leva à seguinte expressão para a velocidade de queda:
v(t)=25(1-e^-0,2 t)
em que t está medido em segundos e v(t) em metros por segundo. Considerando esta equação, responda aos itens abaixo:
(a) Qual é a velocidade inicial?
(b) Qual é a velocidade após 1 minuto?
(c) A função acima nos fornece um valor máximo para a velocidade que o objeto pode atingir. Qual é esse valor? Justifique sua resposta (para isso, pense no domínio/imagem da função).
(d) O modelo estudado no ensino médio admite um valor máximo para a velocidade? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o modelo realista para a velocidade de um corpo em queda com resistência do ar
v(t)=25l(1-e^-0,2,tr),
onde t está em segundos e v(t) em metros por segundo. Precisamos de cálculo de valor da função em pontos específicos, comportamento assintótico (domínio e imagem) e comparar com o modelo linear do ensino médio v(t)=v0+g,t.

Passo 2

Para encontrar a velocidade inicial, basta avaliar em t=0:
v(0)=25l(1-e^-0,2cdot 0r)=25l(1-e^0r)=25l(1-1r)=0
Logo, a velocidade inicial é nula.

Passo 3

Para a velocidade após 1 minuto fazemos t=60 s:
v(60)=25l(1-e^-0,2cdot 60r)=25l(1-e^-12r)
Como e^-12approx6,14times10^-6,
v(60)approx25l(1-6,14times10^-6r)approx25times0,99999386approx24,9998 m/s,
ou seja, praticamente 25 m/s.

Passo 4

Para ver o valor máximo que v(t) pode atingir, analisamos o limite quando ttoinfty:
limttoinftyv(t) =limttoinfty25l(1-e^-0,2,tr) =25l(1-0r)=25
Como o domínio natural é t>=0 e e^-0,2,t varia de 1 a 0, a imagem de v vai de 0 até, mas não ultrapassa, 25 m/s.

Passo 5

No modelo do ensino médio v(t)=v0+g,t, com g>0, ao fazermos ttoinfty obtemos vtoinfty. Portanto não há valor máximo de velocidade nesse modelo.

Resposta

(a) v(0)=0 m/s.
(b) v(60)approx24,9998 m/s (praticamente 25 m/s).
(c) O valor máximo é 25 m/s, pois limttoinftyv(t)=25 e v(t)<25 para todo t.
(d) O modelo do ensino médio não admite velocidade máxima, já que v(t)=v0+g,ttoinfty quando ttoinfty.

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