Para trabalhar com um objeto em queda livre no ensino médio, despreza-se a resistência do ar e sua velocidade é dada por
, em que
é o tempo,
é a velocidade inicial e
é a aceleração da gravidade. Em uma situação mais fiel, onde a resistência do ar é considerada, a modelagem nos leva à seguinte expressão para a velocidade de queda:
em que
está medido em segundos e
em metros por segundo. Considerando esta equação, responda aos itens abaixo:
(a) Qual é a velocidade inicial?
(b) Qual é a velocidade após 1 minuto?
(c) A função acima nos fornece um valor máximo para a velocidade que o objeto pode atingir. Qual é esse valor? Justifique sua resposta (para isso, pense no domínio/imagem da função).
(d) O modelo estudado no ensino médio admite um valor máximo para a velocidade? Justifique sua resposta.
(a) Qual é a velocidade inicial?
(b) Qual é a velocidade após 1 minuto?
(c) A função acima nos fornece um valor máximo para a velocidade que o objeto pode atingir. Qual é esse valor? Justifique sua resposta (para isso, pense no domínio/imagem da função).
(d) O modelo estudado no ensino médio admite um valor máximo para a velocidade? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o modelo realista para a velocidade de um corpo em queda com resistência do ar
onde
está em segundos e
em metros por segundo. Precisamos de cálculo de valor da função em pontos específicos, comportamento assintótico (domínio e imagem) e comparar com o modelo linear do ensino médio
.
Passo 2
Para encontrar a velocidade inicial, basta avaliar em
:
Logo, a velocidade inicial é nula.
Passo 3
Para a velocidade após 1 minuto fazemos
s:
Como
,
ou seja, praticamente
m/s.
Passo 4
Para ver o valor máximo que
pode atingir, analisamos o limite quando
:
Como o domínio natural é
e
varia de 1 a 0, a imagem de
vai de 0 até, mas não ultrapassa, 25 m/s.
Passo 5
No modelo do ensino médio
, com
, ao fazermos
obtemos
. Portanto não há valor máximo de velocidade nesse modelo.
Resposta
(a)
m/s.
(b) m/s (praticamente
m/s).
(c) O valor máximo é m/s, pois
e
para todo
.
(d) O modelo do ensino médio não admite velocidade máxima, já que quando
.
(b)
(c) O valor máximo é
(d) O modelo do ensino médio não admite velocidade máxima, já que