Utilizando a fórmula de mudança de base, mostre que:
(a) log 2 x=log xlog 2;
(b) log x=ln xln 10;
(c) log e=1ln 10.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar três identidades de logaritmos usando a fórmula de mudança de base. Essa fórmula diz que, para a>0, aneq1, e qualquer base auxiliar c>0, cneq1, vale:
loga b ;=;logc blogc a
Vamos aplicar essa relação em cada caso.

Passo 2

(a) Queremos expressar log2x em termos de logaritmo decimal, isto é, base 10. Usando a mudança de base com a=2, b=x e c=10, temos
log2x ;=;log10xlog102
Como por convenção escrevemos log x em vez de log10x, fica
log2x = log xlog 2

Passo 3

(b) Agora queremos escrever o logaritmo decimal log x em função do logaritmo natural ln x. Aplicamos a fórmula com a=10, b=x e c=e, obtendo
log10x ;=;logexloge10 Longrightarrow log x = ln xln 10

Passo 4

(c) Basta tomar x=e na expressão do item (b). Como ln e=1, vem
log e = ln eln 10 = 1ln 10

Resposta

(a) log2x = log xlog 2
(b) log x = ln xln 10
(c) log e = 1ln 10

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