Considere as funções em coordenadas polares
Esboce as curvas no mesmo plano polar.
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos, no mesmo sistema de coordenadas polares, as curvas dadas por
e
O conteúdo aqui é o reconhecimento de que, em coordenadas polares, a equação
é um círculo em coordenadas cartesianas. Para resolver vamos:
. Converter cada equação para a forma cartesiana.
. Identificar centro e raio de cada círculo.
. Observar que só existem pontos para
.
. Desenhar ambos no mesmo plano polar.
Passo 2
Convertemos
para coordenadas cartesianas. Lembrando que
e
, temos
Para escrever na forma padrão de um círculo, completamos o quadrado em
:
Logo é um círculo de centro
e raio
.
Passo 3
De modo análogo, para
temos
Esse é um círculo de centro
e raio
.
Passo 4
Em coordenadas polares a condição
significa
, ou seja, só existe a “metade direita” desses círculos (a parte com
). Ambos os círculos passam pela origem (
quando
) e estão alinhados sobre o eixo polar de
. O círculo maior tem diâmetro de
e se estende de
até
em
; o menor vai de
até
em
.
Resposta
As curvas são dois semicírculos (para
) sobre o eixo de
:
corresponde ao semicírculo de centro em
e raio
.
corresponde ao semicírculo de centro em
e raio
.
No esboço, sobre o eixo polar, desenhe primeiro o semicírculo maior tocando de a
, e dentro dele o semicírculo menor de
a
.
No esboço, sobre o eixo polar, desenhe primeiro o semicírculo maior tocando de