Considere as funções em coordenadas polares
r=16 cos theta e r=4 cos theta
Esboce as curvas no mesmo plano polar.

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos, no mesmo sistema de coordenadas polares, as curvas dadas por
r = 16 costheta
e
r = 4 costheta
O conteúdo aqui é o reconhecimento de que, em coordenadas polares, a equação
r = a,costheta
é um círculo em coordenadas cartesianas. Para resolver vamos:
1. Converter cada equação para a forma cartesiana.
2. Identificar centro e raio de cada círculo.
3. Observar que só existem pontos para costheta>=0.
4. Desenhar ambos no mesmo plano polar.

Passo 2

Convertemos
r = 16 costheta
para coordenadas cartesianas. Lembrando que costheta = x/r e r^2 = x^2 + y^2, temos
r = 16,xr Longrightarrow r^2 = 16,x Longrightarrow x^2 + y^2 = 16,x
Para escrever na forma padrão de um círculo, completamos o quadrado em x:
x^2 - 16x + y^2 = 0 Longrightarrow (x - 8)^2 + y^2 = 8^2
Logo é um círculo de centro (8,0) e raio 8.

Passo 3

De modo análogo, para
r = 4 costheta
temos
r^2 = 4,x Longrightarrow x^2 + y^2 = 4,x Longrightarrow (x - 2)^2 + y^2 = 2^2
Esse é um círculo de centro (2,0) e raio 2.

Passo 4

Em coordenadas polares a condição costheta>=0 significa -tfracpi2<=theta<=tfracpi2, ou seja, só existe a “metade direita” desses círculos (a parte com x>=0). Ambos os círculos passam pela origem ( r=0 quando theta=pmtfracpi2) e estão alinhados sobre o eixo polar de 0^circ. O círculo maior tem diâmetro de 16 e se estende de r=0 até r=16 em theta=0; o menor vai de r=0 até r=4 em theta=0.

Resposta

As curvas são dois semicírculos (para -tfracpi2<=theta<=tfracpi2) sobre o eixo de 0^circ:
bul<=t r=16costheta corresponde ao semicírculo de centro em (8,0) e raio 8.
bul<=t r=4costheta corresponde ao semicírculo de centro em (2,0) e raio 2.
No esboço, sobre o eixo polar, desenhe primeiro o semicírculo maior tocando de r=0 a r=16, e dentro dele o semicírculo menor de r=0 a r=4.

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