A hipérbole é uma curva do plano com a seguinte equação cartesiana
x^216-(y-1)^29=1
Ao rotacionar o ramo dircito da hipérhole em torno do eixo y obtem-se uma superficie chamada hiperbolóide de uma folha.
Calcule a área do superlície do hiperbolóide de uma folha com -2 <= y <= 2.

Passo 1

O enunciado define a hipérbole
x^216-(y-1)^29=1
e diz que o ramo direito ( x>=0) é girado em torno do eixo y, gerando um hiperbolóide de uma folha. Pede-se a área dessa superfície no trecho -2<= y<=2. Vamos usar a fórmula de área de superfície de revolução em torno de y.

Passo 2

Expressamos x em função de y. Da equação
x^216=1+(y-1)^29
vem
x(y)=raiz16l(1+(y-1)^29r) =43raiz9+(y-1)^2

Passo 3

A área de superfície de revolução em torno de y é
S=2piintegraly=-2^2x(y),raiz1+l(x'(y)r)^2;dy

Passo 4

Calculamos x'(y):
x'(y) =43,12raiz9+(y-1)^2cdot2(y-1) =4(y-1)3raiz9+(y-1)^2
Daí
1+(x')^2 =81+25(y-1)^29l(9+(y-1)^2r),
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x,raiz1+(x')^2 =43raiz9+(y-1)^2; raiz81+25(y-1)^23raiz9+(y-1)^2 =49,raiz81+25(y-1)^2

Passo 5

Substituindo em S:
S =2piintegral-2^249raiz81+25(y-1)^2;dy =8pi9integral-2^2raiz81+25(y-1)^2;dy
Fazemos t=y-1, então y=-2mapsto t=-3 e y=2mapsto t=1:
S=8pi9integralt=-3^1raiz81+25t^2;dt

Passo 6

Usamos a primitiva padrão
integralraiza^2+b^2t^2,dt =t2raiza^2+b^2t^2 +a^22blnl(bt+raiza^2+b^2t^2r),
com a=9, b=5. Avaliando de -3 a 1 obtemos
integral-3^1raiz81+25t^2,dt =12raiz106+92raiz34 +8110ln!5+raiz1063raiz34-15

Passo 7

Por fim,
S =8pi9gl[12raiz106+92raiz34 +8110ln!5+raiz1063raiz34-15gr]
e, simplificando,
boxedS =4raiz106,pi9 +4raiz34,pi +36pi5ln!5+raiz1063raiz34-15

Resposta

S =4raiz106,pi9 +4raiz34,pi +36pi5ln!5+raiz1063raiz34-15

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