A hipérbole é uma curva do plano com a seguinte equação cartesiana
Ao rotacionar o ramo dircito da hipérhole em torno do eixo
obtem-se uma superficie chamada hiperbolóide de uma folha.
Calcule a área do superlície do hiperbolóide de uma folha com
.
Calcule a área do superlície do hiperbolóide de uma folha com
Passo 1
O enunciado define a hipérbole
e diz que o ramo direito (
) é girado em torno do eixo
, gerando um hiperbolóide de uma folha. Pede-se a área dessa superfície no trecho
. Vamos usar a fórmula de área de superfície de revolução em torno de
.
Passo 2
Expressamos
em função de
. Da equação
vem
Passo 3
A área de superfície de revolução em torno de
é
Passo 4
Calculamos
:
Daí
logo
Passo 5
Substituindo em
:
Fazemos
, então
e
:
Passo 6
Usamos a primitiva padrão
com
,
. Avaliando de
a
obtemos
Passo 7
Por fim,
e, simplificando,