A hipérbole é uma curva do plano com a seguinte equação cartesiana
x^216-(y-1)^29=1
Ao rotacionar o ramo dircito da hipérhole em torno do eixo y obtem-se uma superficie chamada hiperbolóide de uma folha.
Calcule o volume do hiperbolóide de uma folha com -2 <= y <= 2.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
x^216-(y-1)^29=1
e pede o volume gerado quando o ramo direito ( x>=0) dessa curva é girado em torno do eixo y, no intervalo -2<= y<=2.
Conteúdo: cálculo de volume por revolução (método dos discos), em que a área da seção transversal a uma altura y é pi [raio(y)]^2.

Passo 2

Isolamos x^2 para obter o raio da revolução em função de y.
x^216=1+(y-1)^29 Longrightarrow x^2=16l(1+(y-1)^29r) =16+169(y-1)^2

Passo 3

O volume é dado por
V=integraly=-2^2pil[x(y)r]^2,dy =piintegral-2^2l(16+169(y-1)^2r),dy

Passo 4

Separamos a integral em duas partes:
integral-2^216,dy =16cdot(2-(-2))=16cdot4=64,
integral-2^2(y-1)^2,dy =l[tfracy^33-y^2+yr]-2^2 =l(tfrac83-4+2r)-l(-tfrac83-4-2r) =283

Passo 5

Multiplicando a segunda parte por tfrac169 e somando:
pil(64+169cdot283r) =pil(64+44827r) =picdot1728+44827 =2176pi27

Resposta

V=2176pi27

Exercícios relacionados