Considere as funções dadas por f(x)=x^{2}-5 x+b e g(x)=2 x+1, com b \in \mathbb{R}. Para quals valores de b os graficos de f e g nâo têm pontos em comum?

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x) = x^2 - 5x + b
e
g(x) = 2x + 1,
com b\in\mathbb{R}, e pede os valores de b para que os gráficos não se intersectem. Vamos igualar f(x) e g(x), obter uma equação quadrática e exigir que ela não tenha raízes reais, ou seja, discriminante negativo.

Passo 2

Igualando as expressões de f(x) e g(x) para encontrar possíveis pontos de interseção, temos
x^2 - 5x + b = 2x + 1
que simplifica para a forma padrão
x^2 - 7x + (b - 1) = 0.

Passo 3

O discriminante \Delta da quadrática x^2 - 7x + (b-1)=0 é
\Delta = (-7)^2 - 4\cdot1\cdot(b-1) = 49 - 4(b-1) = 49 - 4b + 4 = 53 - 4b.

Passo 4

Para não existirem raízes reais (nenhum ponto de interseção), precisamos de \Delta < 0 ou seja
53 - 4b < 0 \quad\Longrightarrow\quad 4b > 53 \quad\Longrightarrow\quad b > \frac{53}{4}.

Resposta

Os gráficos de f e g não têm pontos em comum se, e somente se,
b > \frac{53}{4}.

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