A parábola determinada pela função quadrática de lei f(x)=2 x^{2}-c x+(c-2), com c \in \mathbb{R}, tangencia - eixo das abscissas. Calcule f(f(2)).

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x)=2x^{2}-c\,x+(c-2)
e diz que a parábola tangencia o eixo das abscissas. Isso significa que o discriminante da equação f(x)=0 deve ser zero.

Passo 2

Para a equação 2x^{2}-c\,x+(c-2)=0, o discriminante é
\Delta = (-c)^{2}-4\cdot 2\cdot (c-2) = c^{2}-8(c-2) = c^{2}-8c+16 = (c-4)^{2}.
Como a parábola tangencia o eixo das abscissas, exigimos \Delta=0, logo
(c-4)^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad c=4.

Passo 3

Substituindo c=4 em f(x), obtemos
f(x)=2x^{2}-4x+(4-2) =2x^{2}-4x+2 =2(x-1)^{2}.

Passo 4

Calculamos f(2):
f(2)=2\cdot 2^{2}-4\cdot 2+2 =8-8+2 =2.

Passo 5

Por fim, como f(2)=2, temos
f(f(2))=f(2)=2.

Resposta

2

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