Determine os valores de m real sabendo que o gráfico da função quadrática de lei f(x)=-m x^{2}+2 m^{2} tem concavidade voltada para baixo e que o ponto de intersecção desse gráfico com o eixo y é (0,18). A seguir, determine os pontos em que o gráfico da função encontrada intercepta o elxo x.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x) = -m x^{2} + 2m^{2}
e pede que ela tenha concavidade voltada para baixo e que satisfaça f(0)=18. Com isso, devemos:
  1. usar a condição de concavidade para obter restrição em m;
  2. impor f(0)=18 para achar m;
  3. com m encontrado, determinar os pontos em que f(x)=0, isto é, as interseções com o eixo x.

Passo 2

A concavidade de uma parábola f(x)=ax^{2}+bx+c é voltada para baixo se e somente se a<0. Aqui, o coeficiente de x^{2} é a=-m. Logo,
-m < 0
implica
m > 0.

Passo 3

O ponto de intersecção com o eixo y é \bigl(0,f(0)\bigr). Como queremos \bigl(0,18\bigr), temos
f(0) = 2m^{2} = 18
e daí
m^{2} = 9 \quad\Longrightarrow\quad m = \pm 3.
Combinando com m>0, fica
m = 3.

Passo 4

Substituindo m=3 em f(x), obtemos
f(x) = -3x^{2} + 2\cdot 3^{2} = -3x^{2} + 18.
As interseções com o eixo x vêm de f(x)=0, ou seja,
-3x^{2} + 18 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \sqrt{6}.

Resposta

O valor de m é 3.
Os pontos de interseção com o eixo x são \bigl(-\sqrt{6},0\bigr) e \bigl(\sqrt{6},0\bigr).

Exercícios relacionados