Considere as funções f, g: R longrightarrow R dadas por f(x)=2 x^2+x-1 e g(x)=2 x^4+x^3+ 5 x^2+3 x-3. Mostre que f^-1(0) subset g^-1(0).

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=2x^2+x-1, g(x)=2x^4+x^3+5x^2+3x-3,
e pede para mostrar que todo x que zera f também zera g, isto é
f^-1(0)subset g^-1(0)
O método mais direto é usar divisão de polinômios para expressar g(x) em função de f(x).

Passo 2

Vamos dividir g(x) por f(x).
  1. O primeiro termo do quociente é
2x^42x^2=x^2
Multiplicando f(x) por x^2 e subtraindo de g(x) temos
g(x)-x^2f(x) =(2x^4+x^3+5x^2+3x-3) -(2x^4+x^3-x^2) =6x^2+3x-3
  1. O próximo termo do quociente é
6x^22x^2=3
Multiplicando f(x) por 3 e subtraindo do resto anterior:
(6x^2+3x-3)-3(2x^2+x-1) =6x^2+3x-3-(6x^2+3x-3)=0

Passo 3

A divisão não tem resto, e o quociente é x^2+3. Logo
g(x)=(x^2+3),f(x)
Como x^2+3>0 para todo xinR, segue imediatamente que se f(x)=0 então
g(x)=(x^2+3)cdot 0=0
Portanto todo zero de f é zero de g.

Resposta

f^-1(0)subset g^-1(0)

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