Se
Determine o conjunto imagem da função composta (f \circ g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}]

Passo 1

O enunciado pede o conjunto imagem de fcirc g, onde
Temos:
f(x)=0, &xinQ1, &xinI
e
g(x)=1, &xinQ0, &xinI
O conteúdo é composição de funções e classificação de números em racionais e irracionais.

Passo 2

Primeiro, para qualquer xinR, note que g(x) vale 1 se x é racional, ou vale 0 se x é irracional. Em ambos os casos, g(x) produz um número racional, pois tanto 0 quanto 1 são racionais.

Passo 3

Como g(x)inQ para todo x, ao aplicarmos f a esse resultado temos sempre
f(g(x))=0,
pois f(y)=0 para qualquer yinQ. Logo, a função composta é constantemente zero.

Passo 4

Portanto, a imagem de fcirc g é o conjunto que contém apenas o valor 0.

Resposta

0

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