Determine se as funções abaixo são injetivas, justificando suas afirmações:
f: R R, f(x)=7 x+1

Passo 1

Estamos trabalhando com a função
fcolon RtoR, f(x)=7x+1
O conteúdo é injetividade de funções. Para mostrar que f é injetiva, podemos usar a definição:
f é injetiva se, sempre que f(x1)=f(x2), então x1=x2.”
Também vale notar que uma função linear com coeficiente angular não nulo é estritamente monotônica e, portanto, injetiva.

Passo 2

Suponha que existam x1,x2inR tais que
f(x1)=f(x2)
Isso significa
7x1+1 = 7x2+1
Cancelando o +1 em ambos os lados, obtemos
7x1 = 7x2 Longrightarrow x1 = x2
Portanto, a condição de injetividade é satisfeita.

Passo 3

Alternativamente, como o coeficiente de x em f(x)=7x+1 é 7>0, a função é estritamente crescente em R. Funções estritamente crescentes são sempre injetivas, pois não podem assumir o mesmo valor duas vezes.

Resposta

A função f(x)=7x+1 é injetiva.

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