Determine se as funções abaixo são injetivas, justificando suas afirmações:
Passo 1
Estamos trabalhando com a função
O conteúdo é injetividade de funções. Para mostrar que
é injetiva, podemos usar a definição:
“ é injetiva se, sempre que
, então
.”
Também vale notar que uma função linear com coeficiente angular não nulo é estritamente monotônica e, portanto, injetiva.
“
Também vale notar que uma função linear com coeficiente angular não nulo é estritamente monotônica e, portanto, injetiva.
Passo 2
Suponha que existam
tais que
Isso significa
Cancelando o
em ambos os lados, obtemos
Portanto, a condição de injetividade é satisfeita.
Passo 3
Alternativamente, como o coeficiente de
em
é
, a função é estritamente crescente em
. Funções estritamente crescentes são sempre injetivas, pois não podem assumir o mesmo valor duas vezes.
Resposta
A função
é injetiva.