Determine se as funções abaixo são injetivas, justificando suas afirmações:
f: R R, f(x)=raizx^2+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
fcolon RtoR, f(x)=raizx^2+1
é injetiva. Lembrando que f é injetiva se, e somente se, sempre que
,f(x1)=f(x2), então necessariamente x1=x2.

Passo 2

Observamos que, para todo xinR,
raizx^2=|x|
Logo podemos reescrever
f(x)=|x|+1

Passo 3

Suponha que f(x1)=f(x2). Então
|x1|+1 = |x2|+1 Longrightarrow |x1| = |x2|
Da igualdade |x1|=|x2| segue que x1 = x2 ou x1 = -x2.
Portanto, não há garantia de que x1=x2 em todos os casos — basta ocorrer x1=-x2.

Passo 4

Por exemplo, escolhendo x1=2 e x2=-2 temos
f(2)=|2|+1=3 e f(-2)=|-2|+1=3,
mas 2neq -2. Isso demonstra que existem dois pontos distintos com a mesma imagem, logo f não é injetiva.

Resposta

A função f(x)=raizx^2+1 não é injetiva.

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