Considere as funções f, h: R R, dadas por f(x)=clx^2-4x-2, & para x neq 2 4, & para x=2 e h(y)=ccc0, & para & y >= 6 y^218, & para & y<6. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as suas respostas.
lim x 2 h[f(x)]=h[lim x 2 f(x)]

Passo 1

O enunciado define duas funções de
e
Pede-se para verificar se vale
O conteúdo é limites e continuidade de funções compostas. Vamos precisar: (i) simplificar e achar ; (ii) avaliar nesse limite; (iii) calcular diretamente, observando qual ramo de se aplica.]

Passo 2

Para xneq2 temos
f(x)=x^2-4x-2 =(x-2)(x+2)x-2 =x+2
Logo
limxto2f(x) =limxto2(x+2) =4

Passo 3

Agora aplicamos h ao valor 4. Como 4<6, usamos o ramo tfracy^218, portanto
hl[limxto2f(x)r] =h(4) =4^218 =1618 =89

Passo 4

Para calcular limxto2h[f(x)], note que para x próximo de 2 (mas xneq2) temos f(x)=x+2 e então f(x) está perto de 4, isto é, f(x)<6. Assim, nesse entorno vale novamente
hl[f(x)r] =l(f(x)r)^218 =(x+2)^218
Fazendo xto2,
limxto2hl[f(x)r] =limxto2(x+2)^218 =(2+2)^218 =1618 =89

Passo 5

Como obtivemos
limxto2hl[f(x)r] =89 e hl[limxto2f(x)r] =89,
as duas expressões coincidem. A igualdade vale porque, embora h seja descontínua em y=6, o ponto de interesse é y=4, onde h é contínua.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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