Exercício 33 - (IEZZI; MURAKAMI, 2006) Resolva, em R, as inequações:
(5 x+4)(4 x+1)(5-4 x) >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a inequação
(5x+4)(4x+1)5-4x>=0.
O conteúdo envolve estudo de sinal de função racional: precisamos achar o domínio, os zeros do numerador e do denominador, e montar uma tabela de sinais para decidir onde o quociente é não negativo.

Passo 2

Determinamos o domínio e os pontos críticos:
– Denominador 5-4xneq0 xneqtfrac54.
– Numerador (5x+4)(4x+1)=0 quando 5x+4=0 ou 4x+1=0, isto é
x=-tfrac45 e x=-tfrac14
Logo os valores que dividem os intervalos são
-infty,; -tfrac45,; -tfrac14,; tfrac54,; +infty

Passo 3

Analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
Para x<-tfrac45:
,5x+4<0, 4x+1<0, 5-4x>0 Rightarrow numerador positivo, denominador positivo Rightarrow quociente >0.
Para -tfrac45<x<-tfrac14:
,5x+4>0, 4x+1<0, 5-4x>0 Rightarrow numerador negativo, denominador positivo Rightarrow quociente <0.
Para -tfrac14<x<tfrac54:
,5x+4>0, 4x+1>0, 5-4x>0 Rightarrow numerador positivo, denominador positivo Rightarrow quociente >0.
Para x>tfrac54:
,5x+4>0, 4x+1>0, 5-4x<0 Rightarrow numerador positivo, denominador negativo Rightarrow quociente <0.
Nos pontos onde o numerador zera ( x=-tfrac45,-tfrac14) o quociente vale zero e satisfaz “ >=0”. Em x=tfrac54 a função não está definida.

Passo 4

Reunindo os intervalos onde o quociente é não negativo (positivo ou zero) e excluindo x=tfrac54, obtemos
(-infty,,-tfrac45] ;cup; [-tfrac14,,tfrac54)

Resposta

(-infty,,-tfrac45] ;cup; [-tfrac14,,tfrac54)

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