Considere as funções f, h: R R, dadas por f(x)=clx^2-4x-2, & para x neq 2 4, & para x=2 e h(y)=ccc0, & para & y >= 6 y^218, & para & y<6. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando as suas respostas.
lim x 6 f[f(y)]=f[lim x 6 h(y)]

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções f e h de R em R:
f(x)= dfracx^2-4x-2,&xneq2, 4,&x=2,
h(y)= 0,&y>=6, dfracy^218,&y<6
Pede-se verificar se vale
limyto6fl(h(y)r) = f!l(limyto6h(y)r)
O conteúdo é cálculo de limites e composição de funções.

Passo 2

Primeiro, simplifico
segue que
Note que com valor , logo é contínua em todo .

Passo 3

Agora avalio limyto6h(y).
Para y<6, h(y)=y^2/18 e portanto
limyto6^-h(y) =6^218 =2
Para y>6, h(y)=0 e
limyto6^+h(y)=0
Como 2neq0, o limite limyto6h(y) não existe.

Passo 4

Calculo limyto6fl(h(y)r) pelas duas direções:
  • Se yto6^-, então h(y)to2. Como f é contínua, limyto6^-fl(h(y)r) =fl(limyto6^-h(y)r) =f(2)=4
  • Se yto6^+, então h(y)=0 exatamente, logo limyto6^+fl(h(y)r) =f(0)=0+2=2
Como 4neq2, o limite limyto6f(h(y)) não existe.

Passo 5

O membro da direita é
f!l(limyto6h(y)r),
mas já vimos que limyto6h(y) não existe, logo essa expressão não faz sentido. Assim não há igualdade entre os dois lados.

Resposta

A afirmação é falsa.

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