Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
an=2+cos n pi

Passo 1

E aí! Vamos dar uma olhada nesse exercício sobre sequências. A gente precisa descobrir se a sequência an = 2 + cos(npi) converge (isto é, se ela se aproxima de um número específico conforme n cresce) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria e conceitos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com cos(npi) conforme n varia. Sabemos que:
  • Quando n é par ( n = 0, 2, 4, ldots), cos(npi) = cos(0) = 1.
  • Quando n é ímpar ( n = 1, 3, 5, ldots), cos(npi) = cos(pi) = -1.
Então, cos(npi) está sempre alternando entre 1 e -1 conforme n aumenta.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece com a sequência an:
  • Para n par: an = 2 + 1 = 3.
  • Para n ímpar: an = 2 + (-1) = 1.
Ou seja, a sequência está alternando entre os valores 3 e 1.

Passo 4

Para uma sequência convergir, ela precisa se aproximar de um único número conforme n fica grande. No nosso caso, como a sequência está sempre pulando entre 3 e 1, ela não está se aproximando de nenhum número específico.

Resposta

A sequência diverge.

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