Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Passo 1
E aí! Vamos dar uma olhada nesse exercício sobre sequências. A gente precisa descobrir se a sequência
converge (isto é, se ela se aproxima de um número específico conforme
cresce) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria e conceitos de limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com
conforme
varia. Sabemos que:
- Quando
é par ( ), . - Quando
é ímpar ( ), .
Então,
está sempre alternando entre 1 e -1 conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece com a sequência
:
- Para
par: . - Para
ímpar: .
Ou seja, a sequência está alternando entre os valores 3 e 1.
Passo 4
Para uma sequência convergir, ela precisa se aproximar de um único número conforme
fica grande. No nosso caso, como a sequência está sempre pulando entre 3 e 1, ela não está se aproximando de nenhum número específico.
Resposta
A sequência diverge.