1. Considere as funções f e g, definidas por:
f(x, y)=integralx^y ln (1+sen^2 t) d t e g(x, y)=integralx^x^2 y exp (cos t) d t

Passo 1

O enunciado define duas funções de duas variáveis via integrais com limites que dependem de x e y. O conteúdo aqui é a regra de Leibniz para diferenciar integrais em que os limites são funções das variáveis. Precisamos aplicar
partialpartial x!l(integrala(x,y)^b(x,y) F(t),dtr) =Fl(b(x,y)r),partial bpartial x-Fl(a(x,y)r),partial apartial x
e similar para partial/partial y.

Passo 2

Considere
f(x,y)=integralx^ylnl(1+sen^2tr),dt
Aqui o limite inferior é a(x,y)=x e o superior é b(x,y)=y. Pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra de Leibniz:
partial fpartial x(x,y) =-lnl(1+sen^2xr) e partial fpartial y(x,y) =lnl(1+sen^2yr)

Passo 3

Agora
g(x,y)=integralx^x^2yexpl(cos tr),dt
Aqui a(x,y)=x e b(x,y)=x^2y. Logo, usando a regra de Leibniz:
partial gpartial x =-expl(cos xr) +expl(cos(x^2y)r),partial(x^2y)partial x,
partial gpartial y =expl(cos(x^2y)r),partial(x^2y)partial y
Como partial(x^2y)/partial x=2xy e partial(x^2y)/partial y=x^2, temos
partial gpartial x(x,y) =-e^cos x+2xy,e^cos(x^2y), partial gpartial y(x,y) =x^2,e^cos(x^2y)

Resposta

partial fpartial x(x,y)=-lnl(1+sen^2xr)
partial fpartial y(x,y)=lnl(1+sen^2yr)
partial gpartial x(x,y)=-e^cos x+2xy,e^cos(x^2y)
partial gpartial y(x,y)=x^2,e^cos(x^2y)

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