Determine os pontos de continuidade de:
G(x, y)=(x-3 yx^2+y^2, 10 x y+z^3)

Passo 1

O enunciado define a função
Gcolon R^3 to R^2, G(x,y,z)=l(x-3yx^2+y^2,,10,x,y+z^3r)
e pede os pontos em que G é contínua. Para isso, vamos analisar a continuidade de cada componente separadamente: a componente
f1(x,y)=x-3yx^2+y^2
e a componente
f2(x,y,z)=10xy+z^3.

Passo 2

A função
f1(x,y)=x-3yx^2+y^2
é razão de funções polinomiais no numerador e denominador. Sabemos que uma razão P(x,y)Q(x,y) de polinômios é contínua sempre que o denominador Q(x,y)neq 0. Aqui Q(x,y)=x^2+y^2, que se anula exatamente quando x=0 e y=0. Logo, f1 é contínua em todos os (x,y) tais que
x^2+y^2neq 0

Passo 3

A segunda componente é
f2(x,y,z)=10,x,y+z^3
Mas isso é um polinômio em (x,y,z). Polinômios são contínuos em todo o seu domínio, isto é, f2 é contínua em toda R^3.

Passo 4

A função G é contínua exatamente nos pontos onde ambas as componentes são contínuas. Como f2 é contínua em todo lugar, o único possível problema vem de f1, que exige x^2+y^2neq 0. Portanto, G é contínua em todos os pontos (x,y,z) tais que
x^2+y^2neq 0

Resposta

A função G é contínua em
(x,y,z)inR^3 mid x^2+y^2neq 0,
isto é, em todos os pontos em que (x,y)neq(0,0).

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