Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
((y^{2}+y x) d x+x^{2} d y=0)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
por meio de uma substituição apropriada. Observe que as funções multiplicando e são homogêneas de grau 2 em e , então a técnica de substituição é indicada.
Passo 2
Fazendo a substituição
temos
Também reescrevemos os coeficientes:
e
Passo 3
Substituindo em
vem
ou seja
Passo 4
Dividindo tudo por (e supondo ), obtemos
Reescrevendo como separável:
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Logo, integramos:
Passo 5
Reescrevendo em uma única logaritmo:
2lnlvert xrvert + lnllvertvv+2rrvert = C' Longrightarrow lnllvert x^2,vv+2rrvert = C'
Logo
x^2,vv+2 = K,
onde K=e^C' é constante arbitrária. Voltando à variável original v = tfracyx,