Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
((y^{2}+y x) d x+x^{2} d y=0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(y^2 + yx),dx + x^2,dy = 0
por meio de uma substituição apropriada. Observe que as funções multiplicando dx e dy são homogêneas de grau 2 em x e y, então a técnica de substituição y = v x é indicada.

Passo 2

Fazendo a substituição
y = v x,
temos
dy = v,dx + x,dv
Também reescrevemos os coeficientes:
y^2 + yx = (v x)^2 + v x cdot x = x^2(v^2 + v),
e
x^2 = x^2

Passo 3

Substituindo em
(y^2 + yx),dx + x^2,dy = 0
vem
x^2(v^2 + v),dx + x^2l(v,dx + x,dvr) = 0,
ou seja
x^2(v^2 + v),dx + x^2v,dx + x^3,dv = 0 ;;Longrightarrow;; x^2(v^2 + 2v),dx + x^3,dv = 0

Passo 4

Dividindo tudo por x^2 (e supondo xneq0), obtemos
(v^2 + 2v),dx + x,dv = 0
Reescrevendo como separável:
dxx + dvv^2 + 2v = 0
Fazemos a decomposição em frações parciais:
1v^2+2v = 1v(v+2) = 12l(1v - 1v+2r)
Logo, integramos:
integral dxx + integral dvv^2+2v = lnlvert xrvert + 12lnllvertvv+2rrvert = C

Passo 5

Reescrevendo em uma única logaritmo:
2lnlvert xrvert + lnllvertvv+2rrvert = C' Longrightarrow lnllvert x^2,vv+2rrvert = C'
Logo
x^2,vv+2 = K,
onde K=e^C' é constante arbitrária. Voltando à variável original v = tfracyx,
x^2,y/x,y/x+2, = K ;Longrightarrow; x^2yy+2x = K

Resposta

boxedx^2yy + 2x = K,
onde K é a constante de integração.

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