- Considere as funções
e
, definidas por:
Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia e calcule as derivadas
e
.
Passo 1
O enunciado define
e pede as derivadas mistas
e
.
Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar integrais com limites variáveis e a Regra da Cadeia quando o limite superior for função de e
.
Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar integrais com limites variáveis e a Regra da Cadeia quando o limite superior for função de
Passo 2
Primeiro derivamos
em relação a
e depois em
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Agora derivamos isso em relação a
. Como
não depende de
, obtemos
Passo 3
Para
temos limites
e
. Se
, então
e
Agora derivamos em
. Note que
e que ao derivar o primeiro termo usamos a Regra da Cadeia:
Como
, fica
Reescrevendo,