1. Considere as funções f e g, definidas por:
f(x, y)=integralx^y ln (1+sen^2 t) d t e g(x, y)=integralx^x^2 y exp (cos t) d t
Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia e calcule as derivadas fx y e gx y.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=integralx^ylnl(1+sen^2tr),dt e g(x,y)=integralx^x^2yexpl(cos tr),dt
e pede as derivadas mistas fxy e gxy.
Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar integrais com limites variáveis e a Regra da Cadeia quando o limite superior for função de x e y.

Passo 2

Primeiro derivamos f em relação a x e depois em y. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
partialpartial xintegralx^ylnl(1+sen^2tr),dt =-lnl(1+sen^2xr)
Agora derivamos isso em relação a y. Como -lnl(1+sen^2xr) não depende de y, obtemos
fxy(x,y)=0

Passo 3

Para g temos limites a(x)=x e b(x,y)=x^2y. Se H(t)=exp(cos t), então
g(x,y)=integrala(x)^b(x,y)H(t),dt
e
partial gpartial x =Hl(b(x,y)r),partial bpartial x -Hl(a(x)r),partial apartial x =expl(cos(x^2y)r)cdot(2xy) -expl(cos xr)
Agora derivamos em y. Note que partialyexp(cos x)=0 e que ao derivar o primeiro termo usamos a Regra da Cadeia:
partialpartial yl[2xy,expl(cos(x^2y)r)r] =2x,expl(cos(x^2y)r) +2xy,expl(cos(x^2y)r)cdotl[!-,sen(x^2y)r]cdotpartialpartial y(x^2y)
Como partialy(x^2y)=x^2, fica
gxy(x,y) =2x,expl(cos(x^2y)r) -2xy,x^2,sen(x^2y),expl(cos(x^2y)r)
Reescrevendo,
gxy(x,y) =2x,expl(cos(x^2y)r) -2x^3y,sen(x^2y),expl(cos(x^2y)r)

Resposta

fxy(x,y)=0
gxy(x,y) =2x,expl(cos(x^2y)r) -2x^3y,sen(x^2y),expl(cos(x^2y)r)

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