4^a Questão:(30 pontos) Determine a derivada y^prime=f^prime(x) :
(b) f(x)=e^tan (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=e^tan(x). Aqui vamos usar a regra da cadeia, combinando a derivada da exponencial com a derivada da função interna tan(x).

Passo 2

Escrevemos f como uma composta
f(x)=gl(h(x)r),
onde g(u)=e^u e h(x)=tan(x). Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'l(h(x)r)cdot h'(x)

Passo 3

Calculamos a derivada da parte externa:
g(u)=e^u Longrightarrow g'(u)=e^u
Logo, avaliando em u=h(x),
g'l(h(x)r)=e^tan(x)

Passo 4

Agora a derivada da parte interna:
h(x)=tan(x) Longrightarrow h'(x)=sec^2(x)

Passo 5

Juntando tudo pela regra da cadeia, obtemos
f'(x) = e^tan(x) cdot sec^2(x)

Resposta

f'(x)=e^tan(x)sec^2(x)

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