4^a Questão:(30 pontos) Determine a derivada y^prime=f^prime(x) :
(a) f(x)=(cos (3 x)+e^-3 x)^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=l(cos(3x)+e^-3xr)^3
O conteúdo principal é a regra da cadeia, além das derivadas de cos(3x) e de e^-3x.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x)=cos(3x)+e^-3x
Para usar a regra da cadeia, precisamos de g'(x). Usando a derivada de cos(3x) e de e^-3x, temos
ddxcos(3x)=-3sin(3x), ddxe^-3x=-3e^-3x,
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g'(x)=-3sin(3x)-3e^-3x

Passo 3

Pela regra da cadeia, se f(x)=[g(x)]^3 então
f'(x)=3,[g(x)]^2,cdot g'(x)

Passo 4

Substituindo g(x) e g'(x) na expressão acima, obtemos
f'(x) =3l(cos(3x)+e^-3xr)^2l(-3sin(3x)-3e^-3xr)
Fatorando o -3 do segundo fator,
f'(x) =-9l(cos(3x)+e^-3xr)^2l(sin(3x)+e^-3xr)

Resposta

f'(x) =-9l(cos(3x)+e^-3xr)^2l(sin(3x)+e^-3xr)

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