4^a Questão:(30 pontos) Determine a derivada y^prime=f^prime(x) :
(c) f(x)=x^2 ln (5 x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^2ln(5x). O conteúdo aqui é derivação, em particular a regra do produto e a derivada do logaritmo natural. Vamos aplicar essas regras para encontrar f'(x).\n

Passo 2

Definimos as duas partes do produto:
u(x)=x^2 e v(x)=ln(5x).
A derivada de u é
u'(x)=2x,
e para v usamos a regra da cadeia em ln(5x):
v'(x)=ddxln(5x)=15xcdot5=1x

Passo 3

Aplicando a regra do produto, temos
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =2xln(5x)+x^2cdot1x =2xln(5x)+x

Resposta

f'(x)=2xln(5x)+x ou f'(x)=xl(2ln(5x)+1r)

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