Considere as funções
e
definidas, respectivamente, por
Então,
a) Determinar o domínio da função
.
b) A função
é injetora? Em caso afirmativo, determine a expressão da função inversa de
, faça o gráfico e encontre o domínio e imagem para essa função inversa.
c) Encontre uma fórmula para a função inversa de h. (Sugestão: Primeiro isole
.)
a) Determinar o domínio da função
b) A função
c) Encontre uma fórmula para a função inversa de h. (Sugestão: Primeiro isole
Passo 1
O enunciado define três funções:
,
e
.
Os itens pedem, respectivamente:
a) o domínio de ;
b) verificar se é injetora, achar sua inversa, esboçar o gráfico desta inversa e dar domínio e imagem dela;
c) achar a inversa de .
Os itens pedem, respectivamente:
a) o domínio de
b) verificar se
c) achar a inversa de
Passo 2
Para
existir, primeiro o argumento do
deve ser positivo:
Além disso, como depois extraímos a raiz de índice par e colocamos no denominador, precisamos de
pois se
o denominador seria zero. Logo também vale
Passo 3
A desigualdade
é equivalentemente
Fatorando
precisamos de
As raízes são
. Pelo estudo de sinais, a solução é
Passo 4
Devemos excluir os pontos onde
, isto é,
e
, pois aí
anula o denominador. Concluímos:
Passo 5
Para
, temos
ou seja,
é estritamente decrescente e, portanto, injetora.
Passo 6
Para achar
, escrevemos
Logo
Passo 7
Como
para todo
, a imagem de
é
e seu domínio é
. Invertendo, o domínio de
é
e sua imagem é
. O gráfico de
é o da reta
refletido sobre a reta
aplicado ao gráfico de
.
Passo 8
Para
, seja
. Multiplicando em cruz:
O domínio de
é
e sua imagem é
, portanto
Resposta
a)
b) Sim, é injetora. Sua inversa é
b) Sim,
com
e
.
c) , com
.
c)