Considere as funções f, g e h definidas, respectivamente, por
f(x)=\frac{1}{\sqrt[2024]{\ln \left(-x^{3}-5 x^{2}+6 x+1\right)}}, \quad g(x)=-e^{x+3}+2 \text { e } \quad h(x)=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}
Então,
a) Determinar o domínio da função f.
b) A função g é injetora? Em caso afirmativo, determine a expressão da função inversa de g, faça o gráfico e encontre o domínio e imagem para essa função inversa.
c) Encontre uma fórmula para a função inversa de h. (Sugestão: Primeiro isole e^{-x}.)

Passo 1

O enunciado define três funções:
f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[2024]{\ln\bigl(-x^{3}-5x^{2}+6x+1\bigr)}},
g(x)=-e^{x+3}+2 e
h(x)=\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}.
Os itens pedem, respectivamente:
a) o domínio de f;
b) verificar se g é injetora, achar sua inversa, esboçar o gráfico desta inversa e dar domínio e imagem dela;
c) achar a inversa de h.

Passo 2

Para f existir, primeiro o argumento do \ln deve ser positivo:
-x^{3}-5x^{2}+6x+1>0.
Além disso, como depois extraímos a raiz de índice par e colocamos no denominador, precisamos de
\ln\bigl(-x^{3}-5x^{2}+6x+1\bigr)>0,
pois se \ln(\cdot)=0 o denominador seria zero. Logo também vale
-x^{3}-5x^{2}+6x+1>1.

Passo 3

A desigualdade
-x^{3}-5x^{2}+6x+1>1
é equivalentemente
-x^{3}-5x^{2}+6x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x^{3}+5x^{2}-6x<0.
Fatorando
x^{3}+5x^{2}-6x = x\,(x^{2}+5x-6) = x\,(x-1)\,(x+6),
precisamos de
x\,(x-1)\,(x+6)<0.
As raízes são -6,0,1. Pelo estudo de sinais, a solução é
x\in(-\infty,-6)\;\cup\;(0,1).

Passo 4

Devemos excluir os pontos onde -x^{3}-5x^{2}+6x+1=1, isto é, x=-6 e x=1, pois aí \ln(1)=0 anula o denominador. Concluímos:
\text{Dom}(f)=(-\infty,-6)\cup(0,1).

Passo 5

Para g(x)=-e^{x+3}+2, temos
g'(x)=-e^{x+3}<0\quad\forall x,
ou seja, g é estritamente decrescente e, portanto, injetora.

Passo 6

Para achar g^{-1}, escrevemos
y=-e^{x+3}+2\quad\Longrightarrow\quad e^{x+3}=2-y\quad\Longrightarrow\quad x+3=\ln(2-y)\quad\Longrightarrow\quad x=\ln(2-y)-3.
Logo
g^{-1}(y)=\ln\bigl(2-y\bigr)-3.

Passo 7

Como e^{x+3}>0 para todo x, a imagem de g é
\im(g)=(-\infty,2)
e seu domínio é \mathbb{R}. Invertendo, o domínio de g^{-1} é (-\infty,2) e sua imagem é \mathbb{R}. O gráfico de g^{-1} é o da reta y=x refletido sobre a reta y=x aplicado ao gráfico de g.

Passo 8

Para h(x)=\dfrac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}, seja y=h(x). Multiplicando em cruz:
y\,(1+e^{-x}) = 1 - e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad y + y\,e^{-x} = 1 - e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad e^{-x}\,(y+1)=1-y
\Longrightarrow\quad e^{-x}=\frac{1-y}{1+y} \quad\Longrightarrow\quad -x=\ln\!\bigl(\tfrac{1-y}{1+y}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad x=-\ln\!\bigl(\tfrac{1-y}{1+y}\bigr)=\ln\!\bigl(\tfrac{1+y}{1-y}\bigr).
O domínio de h é \mathbb{R} e sua imagem é (-1,1), portanto
h^{-1}(y)=\ln\!\bigl(\tfrac{1+y}{1-y}\bigr), \quad y\in(-1,1).

Resposta

a) \displaystyle \text{Dom}(f)=(-\infty,-6)\cup(0,1).
b) Sim, g é injetora. Sua inversa é
g^{-1}(y)=\ln\bigl(2-y\bigr)-3,
com \text{Dom}(g^{-1})=(-\infty,2) e \im(g^{-1})=\mathbb{R}.
c) \displaystyle h^{-1}(y)=\ln\!\bigl(\tfrac{1+y}{1-y}\bigr), com \text{Dom}(h^{-1})=(-1,1).

Exercícios relacionados