Exercício 1. Determine o rotacional e a divergência dos campos vetoriais abaixo.
\vec{F}(x, y, z)=\left(0, e^{x y} \sin z, y \arctan (x / z)\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial
\vec F(x,y,z) = \bigl(F_1,F_2,F_3\bigr) = \bigl(0,\;e^{x y}\sin z,\;y\arctan(x/z)\bigr).
Usaremos as definições:
\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z},
\nabla\times\vec F = \Bigl(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\;\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\;\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr).

Passo 2

Calculemos primeiro
\displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial z}.
Como F_2 = e^{x y}\sin z,
\frac{\partial F_2}{\partial y} = x\,e^{x y}\sin z.
Como F_3 = y\,\arctan(x/z), use (\arctan u)'=u'/(1+u^2) com u=x/z, para obter
\frac{\partial F_3}{\partial z} = y\,\frac{-\,x/z^2}{1+(x/z)^2} = -\frac{x\,y}{z^2 + x^2}.

Passo 3

Substituindo em \nabla\cdot\vec F, tem-se
\nabla\cdot\vec F = 0 + x\,e^{x y}\sin z \;-\;\frac{x\,y}{z^2 + x^2}.

Passo 4

Agora \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial z}.
Como F_3 = y\,\arctan(x/z),
\frac{\partial F_3}{\partial y} = \arctan\!\bigl(x/z\bigr).
Como F_2 = e^{x y}\sin z,
\frac{\partial F_2}{\partial z} = e^{x y}\cos z.

Passo 5

Seguem \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial z}.
Para F_3,
\frac{\partial F_3}{\partial x} = y\,\frac{1/z}{1+(x/z)^2} = \frac{y\,z}{z^2 + x^2},
e como F_1=0,
\frac{\partial F_1}{\partial z} = 0.

Passo 6

Finalmente \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y}.
Como F_2 = e^{x y}\sin z,
\frac{\partial F_2}{\partial x} = y\,e^{x y}\sin z,
e
\frac{\partial F_1}{\partial y} = 0.

Passo 7

Juntando tudo na fórmula do rotacional, obtemos
\nabla\times\vec F = \Bigl(\arctan(x/z) - e^{x y}\cos z,\;-\,\frac{y\,z}{z^2 + x^2},\;y\,e^{x y}\sin z\Bigr).

Resposta

Divergência:
\nabla\cdot\vec F = x\,e^{x y}\sin z - \frac{x\,y}{z^2 + x^2}.
Rotacional:
\nabla\times\vec F = \bigl(\arctan(x/z) - e^{x y}\cos z,\;- \tfrac{y\,z}{z^2 + x^2},\;y\,e^{x y}\sin z\bigr).

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