Resolver
Mostre que: \frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}=[\operatorname{cossec} \theta-\operatorname{cotg} \theta]^{2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta} = \bigl[\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta\bigr]^{2}.
O conteúdo é confirmação de identidade trigonométrica, usando as definições
\operatorname{cosec}\theta = 1/\sin\theta, \cot\theta = \cos\theta/\sin\theta e a identidade pitagórica \sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1.

Passo 2

Começamos simplificando a parte entre colchetes. Usando
\operatorname{cosec}\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}
e
\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta},
temos
\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta = \frac{1}{\sin\theta} - \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}.

Passo 3

Agora elevamos ao quadrado:
\bigl[\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta\bigr]^{2} = \frac{(1 - \cos\theta)^{2}}{\sin^{2}\theta}.

Passo 4

Pela identidade pitagórica \sin^{2}\theta = 1 - \cos^{2}\theta, reescrevemos o denominador:
\frac{(1 - \cos\theta)^{2}}{\sin^{2}\theta} = \frac{(1 - \cos\theta)^{2}}{1 - \cos^{2}\theta}.

Passo 5

Note que 1 - \cos^{2}\theta = (1 - \cos\theta)(1 + \cos\theta). Então
\frac{(1 - \cos\theta)^{2}}{(1 - \cos\theta)(1 + \cos\theta)} = \frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta},
desde que \theta não seja múltiplo de 2\pi (para evitar divisão por zero em \sin\theta).

Passo 6

Concluímos que
\bigl[\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta\bigr]^{2} = \frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta},
ou seja, a identidade está demonstrada.

Resposta

A igualdade foi comprovada.

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