Seja f uma função definida em R e tal que, para todo x, é válida a inequação
|f(x)-3| <= 3|x-1|
Determine lim x 1 f(x) e justifique sua resposta usando a definição de limite.

Passo 1

Vamos analisar o problema: Temos uma função definida para todos os números reais, e sabemos que para qualquer , a desigualdade é válida. Nosso objetivo é determinar o limite de quando se aproxima de 1, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e inequações, além da definição formal de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a inequação está nos dizendo. Ela relaciona a distância entre e 3 com a distância entre e 1, multiplicada por 3. Isso sugere que, conforme se aproxima de 1, se aproxima de 3, já que tende a zero.

Passo 3

Para formalizar isso, vamos lembrar a definição de limite. Dizemos que se, para todo , existe um tal que, sempre que , então .

Passo 4

No nosso caso, queremos mostrar que . Vamos usar a inequação dada para conectar com .

Passo 5

A inequação pode ser usada diretamente para estabelecer a relação entre e . Queremos que .

Passo 6

Se e queremos que , basta garantir que .

Passo 7

Resolvendo para , temos .

Passo 8

Assim, podemos escolher . Então, sempre que , teremos .

Resposta

Portanto, .

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