Seja
uma função definida em
e tal que, para todo
, é válida a inequação
Determine
e justifique sua resposta usando a definição de limite.
Passo 1
Vamos analisar o problema: Temos uma função
definida para todos os números reais, e sabemos que para qualquer
, a desigualdade
é válida. Nosso objetivo é determinar o limite de
quando
se aproxima de 1, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e inequações, além da definição formal de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a inequação
está nos dizendo. Ela relaciona a distância entre
e 3 com a distância entre
e 1, multiplicada por 3. Isso sugere que, conforme
se aproxima de 1,
se aproxima de 3, já que
tende a zero.
Passo 3
Para formalizar isso, vamos lembrar a definição de limite. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
.
Passo 4
No nosso caso, queremos mostrar que
. Vamos usar a inequação dada para conectar
com
.
Passo 5
A inequação
pode ser usada diretamente para estabelecer a relação entre
e
. Queremos que
.
Passo 6
Se
e queremos que
, basta garantir que
.
Passo 7
Resolvendo
para
, temos
.
Passo 8
Assim, podemos escolher
. Então, sempre que
, teremos
.
Resposta
Portanto,
.