1 - Considere as funções:
Determinar a partir da definição de derivadas:
a) As derivadas das funções no ponto ;
b) As derivadas das funções;

Passo 1

O enunciado dá três funções
f(x)=x^2-16, g(x)=raiz[3]x+4, h(x)=2^x-16
e pede:
a) as derivadas em x1=4 usando a definição
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a,
e b) as fórmulas gerais f'(x), g'(x) e h'(x).

Passo 2

Vamos a f(x)=x^2-16. Pela definição, para a genérico,
f'(a)=limxto ax^2-16-(a^2-16)x-a =limxto ax^2-a^2x-a =limxto a(x+a)=2a
Logo, a fórmula geral é
f'(x)=2x,
e em x1=4 temos
f'(4)=2cdot4=8

Passo 3

Para g(x)=(x+4)^1/3, use-se a definição em a:
g'(a)=limxto a(x+4)^1/3-(a+4)^1/3x-a
Racionalizando com o fator (x+4)^2/3+(x+4)^1/3(a+4)^1/3+(a+4)^2/3, chega-se a
g'(a)=13,(a+4)^2/3
Assim, a derivada geral é
g'(x)=13,(x+4)^2/3,
e em x1=4:
g'(4)=13cdot(4+4)^2/3 =13cdot8^2/3 =13cdot4 =112

Passo 4

Em h(x)=2^x-16, definimos para a:
h'(a)=limxto a2^x-2^ax-a =2^alimxto a2^,x-a-1x-a
Sabendo que limtto0(2^t-1)/t=ln2, obtemos
h'(a)=2^aln2
Então a derivada geral é
h'(x)=2^xln2,
e em x1=4:
h'(4)=2^4ln2=16ln2

Resposta

a) f'(4)=8, g'(4)=tfrac112, h'(4)=16ln2
b) f'(x)=2x, g'(x)=13,(x+4)^2/3, h'(x)=2^xln2

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