1 - Considere as funções:
Determinar a partir da definição de derivadas:
a) As derivadas das funções no ponto ;
b) As derivadas das funções;
c) As equações das retas tangentes das funções no ponto .

Passo 1

O enunciado nos pede para derivar as funções f(x)=x^2-16, g(x)=raiz[3]x+4 e h(x)=2^x-16 usando a definição de derivada.
Em (a) calculamos as derivadas em x1=4.
Em (b) obtemos as derivadas gerais f'(x), g'(x), h'(x).
Em (c) determinamos as equações das retas tangentes no ponto x1=-1.

Passo 2

Aplicamos a definição
f'(x1)=limhto0f(x1+h)-f(x1)h
para cada função em x1=4:
Para f(x)=x^2-16:
f'(4) =limhto0(4+h)^2-16-(4^2-16)h =limhto016+8h+h^2-16h =limhto0(8+h)=8
Para g(x)=(x+4)^1/3:
g'(4) =limhto0(8+h)^1/3-2h =13cdot8^2/3 =13cdot4 =112
Para h(x)=2^x-16:
h'(4) =limhto02^4+h-16-(2^4-16)h =limhto016cdot2^hh =16limhto02^h-1h =16ln2

Passo 3

Usando as regras usuais, as derivadas gerais são:
f'(x)=2x, g'(x)=13(x+4)^2/3, h'(x)=2^xln2

Passo 4

A reta tangente em x1=-1 tem equação
y - y1 = f'(x1),(x+1),
onde y1=f(-1).
Para f:
f(-1)=1-16=-15, f'(-1)=-2,
y+15=-2(x+1);Longrightarrow;y=-2x-17
Para g:
g(-1)=raiz[3]3, g'(-1)=13cdot3^2/3=3^-5/3,
y-raiz[3]3=3^-5/3(x+1)
Para h:
h(-1)=tfrac12-16=-tfrac312, h'(-1)=tfracln22,
y+tfrac312=tfracln22(x+1)

Resposta

(a) f'(4)=8,;g'(4)=tfrac112,;h'(4)=16ln2.
(b) f'(x)=2x,;g'(x)=tfrac13(x+4)^2/3,;h'(x)=2^xln2.
(c) Retas tangentes:
y=-2x-17;
y-raiz[3]3=3^-5/3(x+1);
y+tfrac312=tfracln22(x+1).

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