Questão 5) (2,5 ptos)
Verifique se a seguinte função vetorial é contínua em todo o seu domínio:
r(t)=(raiz[3]t, f2(t), ln |t^6+2|) de modo que f2(t)= t sen(t^-1), & se t neq 0 0, & se t=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função vetorial
r(t)=l(raiz[3]t,,f2(t),,lnl|t^6+2r|r)
é contínua em todo o seu domínio. O conteúdo envolvido é continuidade de funções reais e propriedades de funções elementares (radicais, produto, composição, logaritmo) e o uso do teorema do sanduíche para limites.

Passo 2

Identificamos o domínio de cada componente e, consequentemente, de r.
  1. raiz[3]t está definida para todo tinR.
  2. f2(t)=tsinl(t^-1r) para tneq0 e f2(0)=0 está definida em todo R.
  3. lnl|t^6+2r|: como t^6>=0 implica t^6+2>0 para todo t, o argumento do logaritmo é sempre positivo, logo esta componente também está definida em todo R.
    Portanto o domínio de r é R.

Passo 3

Analisamos a continuidade de g(t)=raiz[3]t. A função tmapsto t^1/3 é contínua em todo R por ser uma função radicial de índice ímpar, que não apresenta descontinuidade nem problema de domínio.

Passo 4

Estudamos a continuidade de
f2(t)= tsinl(t^-1r),&tneq0, 0,&t=0
Para tneq0, é produto de funções contínuas ( t e sin(1/t)), logo contínua. Em t=0, calculamos o limite:
limtto0tsinl(t^-1r)
Como l|sin(t^-1)r|<=1, vale
l|tsin(t^-1)r|<=|t|to0,
ou seja, limtto0f2(t)=0=f2(0). Pelo teorema do confronto, f2 é contínua em 0. Logo f2 é contínua em todo R.

Passo 5

Analisamos
h(t)=lnl|t^6+2r|
A função interna tmapsto t^6+2 é polinomial, portanto contínua em R, e seu valor é sempre >0. A composição com xmapstoln(x), contínua em (0,infty), produz h contínua em todo R.

Passo 6

Como cada componente de r(t) é contínua em R, a função vetorial r é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

A função r(t) é contínua para todo tinR.

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