Questão 5) (2,5 ptos)
Verifique se a seguinte função vetorial é contínua em todo o seu domínio:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função vetorial
r(t)=l(raiz[3]t,,f2(t),,lnl|t^6+2r|r)
é contínua em todo o seu domínio. O conteúdo envolvido é continuidade de funções reais e propriedades de funções elementares (radicais, produto, composição, logaritmo) e o uso do teorema do sanduíche para limites.
Passo 2
Identificamos o domínio de cada componente e, consequentemente, de r.
raiz[3]t está definida para todo tinR.
f2(t)=tsinl(t^-1r) para tneq0 e f2(0)=0 está definida em todo R.
lnl|t^6+2r|: como t^6>=0 implica t^6+2>0 para todo t, o argumento do logaritmo é sempre positivo, logo esta componente também está definida em todo R.
Portanto o domínio de r é R.
Passo 3
Analisamos a continuidade de g(t)=raiz[3]t. A função tmapsto t^1/3 é contínua em todo R por ser uma função radicial de índice ímpar, que não apresenta descontinuidade nem problema de domínio.
Passo 4
Estudamos a continuidade de
f2(t)= tsinl(t^-1r),&tneq0, 0,&t=0
Para tneq0, é produto de funções contínuas (t e sin(1/t)), logo contínua. Em t=0, calculamos o limite:
limtto0tsinl(t^-1r)
Como l|sin(t^-1)r|<=1, vale
l|tsin(t^-1)r|<=|t|to0,
ou seja, limtto0f2(t)=0=f2(0). Pelo teorema do confronto, f2 é contínua em 0. Logo f2 é contínua em todo R.
Passo 5
Analisamos
h(t)=lnl|t^6+2r|
A função interna tmapsto t^6+2 é polinomial, portanto contínua em R, e seu valor é sempre >0. A composição com xmapstoln(x), contínua em (0,infty), produz h contínua em todo R.
Passo 6
Como cada componente de r(t) é contínua em R, a função vetorial r é contínua em todo o seu domínio.