Questão 1. Resolva as equações diferenciais abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de 1ª ordem linear
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 1ª ordem.
O que vamos usar: método do fator integrante, que funciona assim: se a equação é
O que vamos usar: método do fator integrante, que funciona assim: se a equação é
então o fator integrante é
Passo 2
Colocar a equação em forma padrão já está feito:
aqui identificamos
Passo 3
Calcular o fator integrante:
Passo 4
Multiplicar toda a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
, pois
Passo 5
Reescrever a equação como
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Calcular as integrais separadamente.
-
:
usar integração por partes, com
,
, .
Então
Somando tudo:
Passo 7
Agrupar os termos em
:
Agora isolar
dividindo por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária.