Questão 1. Resolva as equações diferenciais abaixo:
(1,0 pt) y^prime+2 y=x+3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de 1ª ordem linear
y' + 2y = x + 3
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 1ª ordem.
O que vamos usar: método do fator integrante, que funciona assim: se a equação é
y' + P(x),y = Q(x),
então o fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx

Passo 2

Colocar a equação em forma padrão já está feito:
y' + 2y = x + 3,
aqui identificamos
P(x) = 2, Q(x) = x + 3

Passo 3

Calcular o fator integrante:
mu(x) = e^integral 2,dx = e^2x

Passo 4

Multiplicar toda a equação por mu(x)=e^2x:
e^2xy' + 2e^2xy = e^2x(x+3)
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^2xy, pois
ddxl(e^2xyr) = e^2xy' + 2e^2xy

Passo 5

Reescrever a equação como
ddxl(e^2xyr) = e^2x(x+3)
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^2xy = integral e^2xx,dx + integral 3e^2x,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Calcular as integrais separadamente.
  1. integral x e^2x,dx:
    usar integração por partes, com
    u = x, dv = e^2xdx
    Rightarrow du = dx, v = tfrace^2x2.
    Então
integral x e^2xdx = xcdote^2x2 - integral 1cdote^2x2dx = x e^2x2 - 12integral e^2xdx = x e^2x2 - 12cdote^2x2 = x e^2x2 - e^2x4
  1. integral 3e^2xdx = 3cdote^2x2 = 3e^2x2
Somando tudo:
e^2xy = l(x e^2x2 - e^2x4r) + 3e^2x2 + C

Passo 7

Agrupar os termos em e^2x:
e^2xy = x e^2x2 + l(-14 + 32r)e^2x + C = x e^2x2 + 5e^2x4 + C
Agora isolar y dividindo por e^2x:
y = x2 + 54 + C e^-2x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
boxedy(x) = x2 + 54 + C e^-2x,
onde C é uma constante arbitrária.

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