Questão 6) (5, 0 ptos, no qual cada item vale 2,5 ptos) Determine a curvatura da função:
y=x^3+1, no ponto x=-1.

Passo 1

O enunciado pede a curvatura da curva definida por y=x^3+1 no ponto x=-1. Esse é um problema de geometria de curvas planas, em que usamos a fórmula da curvatura em coordenas cartesianas:
kappa(x)=l|y''(x)r|l(1+l(y'(x)r)^2r)^3/2

Passo 2

Vamos calcular as derivadas primeira e segunda de y=x^3+1:
y'(x)=ddx(x^3+1)=3x^2,
y''(x)=ddxl(3x^2r)=6x

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas em x=-1:
y'(-1)=3cdot(-1)^2=3,
y''(-1)=6cdot(-1)=-6

Passo 4

Substituímos em
kappa(-1)=l|y''(-1)r|l(1+l(y'(-1)r)^2r)^3/2 =l|-6r|l(1+3^2r)^3/2 =6l(1+9r)^3/2 =610^3/2 =610raiz10 =35raiz10

Resposta

A curvatura em x=-1 é
kappa(-1)=35raiz10

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