Questão 6) (5, 0 ptos, no qual cada item vale 2,5 ptos) Determine a curvatura da função:
r(t)=(1,2 t^3, t^2), no ponto t=1.

Passo 1

O enunciado pede a curvatura da curva no espaço
r(t)=l(1,;2t^3,;t^2r)
no ponto t=1.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da curvatura para curvas em R^3:
kappa(t) = l|r'(t)times r''(t)r|l|r'(t)r|^3

Passo 2

Calculamos as derivadas primeira e segunda de r(t):
r'(t)=l(0,;6t^2,;2tr), r''(t)=l(0,;12t,;2r)
Em t=1 ficamos com
r'(1)=(0,6,2), r''(1)=(0,12,2)

Passo 3

  1. Produto vetorial em t=1:
r'(1)times r''(1) = i & j & k 0 & 6 & 2 0 & 12 & 2 =(-12,,0,,0)
  1. Norma desse vetor:
l|r'(1)times r''(1)r|=raiz(-12)^2=12
  1. Norma de r'(1):
l|r'(1)r|=raiz0^2+6^2+2^2=raiz40=2raiz10
  1. Aplicando a fórmula da curvatura:
kappa(1) = 12l(2raiz10r)^3 = 128cdot10raiz10 = 320raiz10

Resposta

kappa(1)=320raiz10

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