Considere as funções
f(x)=cll-2 x-1 & se & x <= 0 x^2-3 & se & 0<x <= 3 x & se & x>3 e g(x)=raiz1-x.
Determine o domínio de g circ f.

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
e
O que precisamos é achar todos os pertença ao domínio de .

Passo 2

O domínio de g é dado pela condição de existência da raiz:
1 - x >= 0 Longrightarrow x <= 1
Logo, para g(f(x)) existir devemos ter
f(x)<= 1

Passo 3

Analisamos o ramo x<=0, onde f(x)=-2x-1. Impor f(x)<=1
-2x-1 <= 1 Longrightarrow -2x <= 2 Longrightarrow x >= -1
Como estamos em x<=0, obtemos o intervalo
-1 <= x <= 0

Passo 4

No ramo 0<x<=3, temos f(x)=x^2-3. A condição f(x)<=1 é
x^2 -3 <= 1 Longrightarrow x^2 <= 4 Longrightarrow -2 <= x <= 2
Restrito a 0<x<=3, fica
0 < x <= 2

Passo 5

No ramo x>3, f(x)=x. A exigência f(x)<=1 seria
x <= 1,
mas isso não ocorre simultaneamente com x>3. Logo, não há solução nesse ramo.

Passo 6

Unindo os intervalos válidos dos ramos, obtemos
[-1,0];cup;(0,2] = [-1,2]

Resposta

O domínio de gcirc f é l[-1,2r].

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