Para as funções logarítmicas abaixo, determine as suas derivadas:
b) f(x)=log 2 3 x^4

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=log2l(3x^4r)
e pede f'(x). O conteúdo aqui é derivada de logaritmo de base a. Vamos usar a regra
ddxl[logau(x)r] =u'(x)u(x),ln a
juntamente com a regra da cadeia e a derivada de potência.

Passo 2

Reescrevemos f(x) em termos de logaritmo natural, pois é mais fácil derivar:
f(x)=lnl(3x^4r)ln 2

Passo 3

Identificamos a função interna
u(x)=3x^4
e calculamos sua derivada pela regra de potência:
u'(x)=3cdot4x^3=12x^3

Passo 4

Aplicamos a derivada de
lnl(u(x)r) e a constante 1/ln2:
f'(x) =1ln2,ddxl[ln(u(x))r] =1ln2,u'(x)u(x) =1ln2,12x^33x^4

Passo 5

Simplificamos a fração:
12x^33x^4 =123,x^3-4 =4x^-1 =4x
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f'(x)=4x,ln2

Resposta

f'(x)=4x,ln2

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