Considere as funções f, h e g.
f(z)=1-exp (z)z, h(z)=exp (-1 / z), g(z)=1-cos (z)z^2
Determine as singularidades isoladas de f. Para cada uma delas, classifique-a como removível, essencial ou pólo. Para cada pólo (caso haja) forneça a sua ordem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Análise Complexa que envolve determinar as singularidades isoladas da função f(z) = 1 - e^zz . A nossa missão é identificar onde essa função pode não ser analítica (as singularidades) e classificar cada uma delas como removível, essencial ou pólo, além de descobrir a ordem do pólo, se houver algum. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências, limites e tipos de singularidades em funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a função f(z) = 1 - e^zz pode não ser analítica. Uma função não é analítica em pontos onde não está definida ou onde não é diferenciável. Olhando para f(z) , vemos que o denominador é z , o que sugere que z = 0 pode ser um ponto problemático, já que não podemos dividir por zero.

Passo 3

Agora, vamos investigar o comportamento de f(z) próximo a z = 0 . Para isso, podemos expandir e^z em uma série de Taylor em torno de z = 0 :
e^z = 1 + z + z^22! + z^33! + cdots
Substituindo isso na expressão de f(z) :
f(z) = 1 - (1 + z + z^22 + z^36 + cdots)z = -z - z^22 - z^36 - cdotsz

Passo 4

Simplificando a expressão, dividimos cada termo do numerador por z :
f(z) = -1 - z2 - z^26 - cdots
Observamos que, ao simplificar, o termo 1 - e^zz se torna uma série de potências em z , que é bem comportada em z = 0 . Isso significa que, mesmo que o denominador inicialmente pareça causar uma indeterminação, a função pode ser estendida de forma analítica em z = 0 .

Passo 5

Uma singularidade é dita necessária se a função não pode ser estendida analiticamente naquele ponto (como um pólo ou uma singularidade essencial). Se, porém, a função puder ser estendida analiticamente no ponto, a singularidade é removível. No nosso caso, conseguimos reescrever f(z) como uma série de potências válida em z = 0 , o que indica que a singularidade em z = 0 é removível.

Resposta

A função f(z) = 1 - e^zz possui uma única singularidade isolada em z = 0 , e essa singularidade é removível.

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