Considere as funções
e
.
Determine as singularidades isoladas de
. Para cada uma delas, classifique-a como removível, essencial ou pólo. Para cada pólo (caso haja) forneça a sua ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de Análise Complexa que envolve determinar as singularidades isoladas da função
. A nossa missão é identificar onde essa função pode não ser analítica (as singularidades) e classificar cada uma delas como removível, essencial ou pólo, além de descobrir a ordem do pólo, se houver algum. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências, limites e tipos de singularidades em funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a função
pode não ser analítica. Uma função não é analítica em pontos onde não está definida ou onde não é diferenciável. Olhando para
, vemos que o denominador é
, o que sugere que
pode ser um ponto problemático, já que não podemos dividir por zero.
Passo 3
Agora, vamos investigar o comportamento de
próximo a
. Para isso, podemos expandir
em uma série de Taylor em torno de
:
Substituindo isso na expressão de
:
Passo 4
Simplificando a expressão, dividimos cada termo do numerador por
:
Observamos que, ao simplificar, o termo
se torna uma série de potências em
, que é bem comportada em
. Isso significa que, mesmo que o denominador inicialmente pareça causar uma indeterminação, a função pode ser estendida de forma analítica em
.
Passo 5
Uma singularidade é dita necessária se a função não pode ser estendida analiticamente naquele ponto (como um pólo ou uma singularidade essencial). Se, porém, a função puder ser estendida analiticamente no ponto, a singularidade é removível. No nosso caso, conseguimos reescrever
como uma série de potências válida em
, o que indica que a singularidade em
é removível.
Resposta
A função
possui uma única singularidade isolada em
, e essa singularidade é removível.