Seja f(z)=z-alphaz(z-beta) onde alpha e beta são número reais.
Sabe-se que todas as singularidade de f encontram-se no eixo real, sendo uma delas um polo simples em z=2. Sabe-se ainda que o resíduo de f em z=2 é igual a 1.
Calcule os valores de alpha e beta e classifique a outra singularidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(z) = z - alphaz(z - beta) onde alpha e beta são números reais. A questão nos diz que todas as singularidades dessa função estão no eixo real, uma delas é um pólo simples em z = 2 , e o resíduo em z = 2 é igual a 1. Nosso objetivo é encontrar os valores de alpha e beta e classificar a outra singularidade. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre pólos e resíduos em funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as singularidades da função f(z) = z - alphaz(z - beta) . As singularidades ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, em z = 0 e z = beta . Além disso, temos que todas as singularidades estão no eixo real, então beta também é real.

Passo 3

Sabemos que uma das singularidades é um pólo simples em z = 2 . Isso significa que z = 2 deve ser uma das singularidades da nossa função. Ou seja, beta = 2 ou z = 0 seja igual a 2. Mas como z = 0 já é uma singularidade fixa, concluímos que beta = 2 .

Passo 4

Agora que sabemos que beta = 2 , vamos reescrever a função com esse valor:
f(z) = z - alphaz(z - 2)

Passo 5

Vamos usar a informação do resíduo em z = 2 . O resíduo de uma função em um pólo simples z = a é dado por:
Res(f, a) = limz to a (z - a)f(z)
Aplicando isso para z = 2 :
Res(f, 2) = limz to 2 (z - 2)z - alphaz(z - 2) = limz to 2 z - alphaz = 2 - alpha2
Sabemos que esse resíduo é igual a 1:
2 - alpha2 = 1

Passo 6

Vamos resolver a equação para encontrar alpha :
2 - alpha2 = 1 implies 2 - alpha = 2 implies alpha = 0

Passo 7

Agora que temos alpha = 0 e beta = 2 , nossa função fica:
f(z) = zz(z - 2) = 1z - 2

Passo 8

Vamos verificar as singularidades novamente com alpha = 0 e beta = 2 . Temos z = 0 e z = 2 . Já sabemos que z = 2 é um pólo simples. O outro pólo, z = 0 , também é um pólo simples, já que não há cancelamento no numerador.

Passo 9

Portanto, a outra singularidade em z = 0 é um pólo simples.

Resposta

Os valores são alpha = 0 e beta = 2 . A outra singularidade em z = 0 é também um pólo simples.

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