Seja
onde
e
são número reais.
Sabe-se que todas as singularidade de
encontram-se no eixo real, sendo uma delas um polo simples em
. Sabe-se ainda que o resíduo de
em
é igual a 1.
Calcule os valores de
e
e classifique a outra singularidade.
Sabe-se que todas as singularidade de
Calcule os valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
onde
e
são números reais. A questão nos diz que todas as singularidades dessa função estão no eixo real, uma delas é um pólo simples em
, e o resíduo em
é igual a 1. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
e classificar a outra singularidade. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre pólos e resíduos em funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as singularidades da função
. As singularidades ocorrem onde o denominador é zero, ou seja, em
e
. Além disso, temos que todas as singularidades estão no eixo real, então
também é real.
Passo 3
Sabemos que uma das singularidades é um pólo simples em
. Isso significa que
deve ser uma das singularidades da nossa função. Ou seja,
ou
seja igual a 2. Mas como
já é uma singularidade fixa, concluímos que
.
Passo 4
Agora que sabemos que
, vamos reescrever a função com esse valor:
Passo 5
Vamos usar a informação do resíduo em
. O resíduo de uma função em um pólo simples
é dado por:
Aplicando isso para
:
Sabemos que esse resíduo é igual a 1:
Passo 6
Vamos resolver a equação para encontrar
:
Passo 7
Agora que temos
e
, nossa função fica:
Passo 8
Vamos verificar as singularidades novamente com
e
. Temos
e
. Já sabemos que
é um pólo simples. O outro pólo,
, também é um pólo simples, já que não há cancelamento no numerador.
Passo 9
Portanto, a outra singularidade em
é um pólo simples.
Resposta
Os valores são
e
. A outra singularidade em
é também um pólo simples.