Seja
uma função.
Supondo que
, encontre
e determine qual é a função
.
Supondo que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma função complexa
, onde
. A gente precisa encontrar a função
que está relacionada com
e, depois, determinar qual é exatamente a função
. Além disso, sabemos que
.
Pra resolver isso, vamos usar um pouco da teoria de funções de uma variável complexa, especificamente as Equações de Cauchy-Riemann, que nos ajudam a garantir que a função seja analítica (ou seja, diferenciável no sentido complexo). Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
significa que a parte real da função é
e a parte imaginária é
.
As Equações de Cauchy-Riemann dizem que, para uma função
ser analítica, ela precisa satisfazer:
Vamos calcular essas derivadas usando a parte imaginária que já temos.
Passo 3
Vamos identificar
.
Agora, calculamos as derivadas necessárias:
Agora, aplicando as Equações de Cauchy-Riemann:
Passo 4
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e aparece como a constante de integração.
Agora, vamos usar a segunda equação
:
Integrando isso em relação a
:
Onde
é uma constante. Para simplificar, podemos considerar
(já que a constante será absorvida na função geral).
Então,
.
Passo 5
Agora que temos
, podemos escrever a função completa:
Mas vamos simplificar isso em termos de
.
Lembrando que
, temos:
Observando a nossa função
, vemos que:
Portanto,
.
Resposta
A função é
.