Seja f(z)=u(x, y)+i(2 x y+y) uma função.
Supondo que f(i)=i, encontre varphi(y) e determine qual é a função f(z).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma função complexa f(z) = u(x, y) + i(2xy + y) , onde z = x + iy . A gente precisa encontrar a função varphi(y) que está relacionada com u(x, y) e, depois, determinar qual é exatamente a função f(z) . Além disso, sabemos que f(i) = i .
Pra resolver isso, vamos usar um pouco da teoria de funções de uma variável complexa, especificamente as Equações de Cauchy-Riemann, que nos ajudam a garantir que a função seja analítica (ou seja, diferenciável no sentido complexo). Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender que f(z) = u(x, y) + i(2xy + y) significa que a parte real da função é u(x, y) e a parte imaginária é 2xy + y .
As Equações de Cauchy-Riemann dizem que, para uma função f(z) = u + iv ser analítica, ela precisa satisfazer:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x
Vamos calcular essas derivadas usando a parte imaginária que já temos.

Passo 3

Vamos identificar v(x, y) = 2xy + y .
Agora, calculamos as derivadas necessárias:
  1. partial vpartial y = 2x + 1
  2. partial vpartial x = 2y
Agora, aplicando as Equações de Cauchy-Riemann:
  1. partial upartial x = partial vpartial y = 2x + 1
  2. partial upartial y = -partial vpartial x = -2y

Passo 4

Vamos integrar partial upartial x = 2x + 1 em relação a x para encontrar u(x, y) :
u(x, y) = integral (2x + 1) , dx = x^2 + x + phi(y)
Aqui, phi(y) é uma função que depende apenas de y e aparece como a constante de integração.
Agora, vamos usar a segunda equação partial upartial y = -2y :
partial upartial y = ddy(x^2 + x + phi(y)) = phi'(y) = -2y
Integrando isso em relação a y :
phi(y) = integral -2y , dy = -y^2 + C
Onde C é uma constante. Para simplificar, podemos considerar C = 0 (já que a constante será absorvida na função geral).
Então, u(x, y) = x^2 + x - y^2 .

Passo 5

Agora que temos u(x, y) , podemos escrever a função completa:
f(z) = u(x, y) + i v(x, y) = (x^2 + x - y^2) + i(2xy + y)
Mas vamos simplificar isso em termos de z .
Lembrando que z = x + iy , temos:
z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + i(2xy)
Observando a nossa função f(z) , vemos que:
f(z) = z^2 + x + y i + iy = z^2 + z
Portanto, f(z) = z^2 + z .

Resposta

A função é f(z) = z^2 + z .

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