Considere as funções com domínio nos números reais dadas por
e
.
Determine o valor de
tal que
.
Determine o valor de
Passo 1
O enunciado dá duas funções definidas em
:
O que se pede: determinar os valores de
tais que
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A igualdade a resolver é
. - Isso é uma equação polinomial (vamos ver que é uma equação quadrática após manipular).
- Precisamos encontrar todos os valores reais de
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Colocar todos os termos de um lado para obter uma equação igual a zero (passo padrão para resolver equações polinomiais). A partir de
somamos
e subtraímos
de ambos os lados:
Agora somamos os termos semelhantes (
e
):
Explicação didática: ao colocar tudo em um lado obtemos uma equação no formato padrão de uma equação quadrática
onde aqui
,
e
. Saber identificar
,
e
é essencial porque várias técnicas de solução usam esses valores (fatoração, fórmula de Bhaskara, etc.).
Passo 3
Vou resolver a equação quadrática
. Duas abordagens possíveis são comuns:
- fatorar o polinômio (se for factorizável de forma simples), ou
- usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara):
onde
é o discriminante dado por
. Aqui
indica quantas raízes reais existem:
- se
: duas raízes reais distintas; - se
: uma raiz real dupla; - se
: nenhuma raiz real (raízes complexas).
Calculemoscom , , :
Como
, haverá duas raízes reais distintas. A raiz quadrada é
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Agora calculamos as duas possibilidades:
- com o sinal
:
- com o sinal
:
Passo 5
Verificação rápida (para me deixar mais seguro e para você aprender a checar na prova): substituir cada solução em
e
e confirmar que os valores coincidem.
Para
:
Ambos dão
, ok.
Para
:
Também coincidem. Portanto as duas soluções estão corretas.