Considere as funções com domínio nos números reais dadas por f(x)=3 x^{2}-x+5 e g(x)=-2 x+9.
Determine o valor de \boldsymbol{x} tal que \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{g}(\mathrm{x}).

Passo 1

O enunciado dá duas funções definidas em \mathbb{R}:
f(x)=3x^{2}-x+5
g(x)=-2x+9
O que se pede: determinar os valores de x tais que f(x)=g(x).
Informações relevantes que temos:
  • A igualdade a resolver é \,3x^{2}-x+5 = -2x+9.
  • Isso é uma equação polinomial (vamos ver que é uma equação quadrática após manipular).
  • Precisamos encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Colocar todos os termos de um lado para obter uma equação igual a zero (passo padrão para resolver equações polinomiais). A partir de
3x^{2}-x+5 = -2x+9
somamos 2x e subtraímos 9 de ambos os lados:
3x^{2}-x+5 + 2x - 9 = 0.
Agora somamos os termos semelhantes ( -x+2x = x e 5-9 = -4):
3x^{2} + x - 4 = 0.
Explicação didática: ao colocar tudo em um lado obtemos uma equação no formato padrão de uma equação quadrática
ax^{2}+bx+c=0,
onde aqui a=3, b=1 e c=-4. Saber identificar a, b e c é essencial porque várias técnicas de solução usam esses valores (fatoração, fórmula de Bhaskara, etc.).

Passo 3

Vou resolver a equação quadrática \,3x^{2}+x-4=0. Duas abordagens possíveis são comuns:
  • fatorar o polinômio (se for factorizável de forma simples), ou
  • usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara):
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta é o discriminante dado por \Delta=b^{2}-4ac. Aqui \Delta indica quantas raízes reais existem:
  • se \Delta>0: duas raízes reais distintas;
  • se \Delta=0: uma raiz real dupla;
  • se \Delta<0: nenhuma raiz real (raízes complexas).
    Calculemos \Delta com a=3, b=1, c=-4:
\Delta = b^{2}-4ac = 1^{2}-4\cdot 3\cdot(-4) = 1 + 48 = 49.
Como \Delta=49>0, haverá duas raízes reais distintas. A raiz quadrada é \sqrt{\Delta}=\sqrt{49}=7.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm 7}{2\cdot 3}=\frac{-1\pm 7}{6}.
Agora calculamos as duas possibilidades:
  • com o sinal +:
x=\frac{-1+7}{6}=\frac{6}{6}=1;
  • com o sinal -:
x=\frac{-1-7}{6}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3}.

Passo 5

Verificação rápida (para me deixar mais seguro e para você aprender a checar na prova): substituir cada solução em f(x) e g(x) e confirmar que os valores coincidem.
Para x=1:
f(1)=3\cdot1^{2}-1+5=3-1+5=7,
g(1)=-2\cdot1+9=-2+9=7.
Ambos dão 7, ok.
Para x=-\tfrac{4}{3}:
f\!\left(-\tfrac{4}{3}\right)=3\left(-\tfrac{4}{3}\right)^{2}-\left(-\tfrac{4}{3}\right)+5 =3\cdot\frac{16}{9}+\frac{4}{3}+5 =\frac{48}{9}+\frac{12}{9}+\frac{45}{9} =\frac{105}{9}=\frac{35}{3},
g\!\left(-\tfrac{4}{3}\right)=-2\left(-\tfrac{4}{3}\right)+9=\frac{8}{3}+9=\frac{8}{3}+\frac{27}{3}=\frac{35}{3}.
Também coincidem. Portanto as duas soluções estão corretas.

Resposta

x=1
x=-\dfrac{4}{3}

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