Determine o domínio das funções:
h(x)=\sqrt{-2 x-1}

Passo 1

O enunciado fornece a função h(x)=\sqrt{-2x-1} e pede para determinar o domínio, ou seja, o conjunto de todos os valores reais de x para os quais a expressão define um número real.

Passo 2

Para que a raiz quadrada \sqrt{\cdot} produza um número real, o que está dentro da raiz (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero. Aqui o radicando é -2x-1. Portanto devemos impor a condição
-2x-1 \ge 0.
Agora resolvemos a desigualdade -2x-1 \ge 0. Primeiro isolamos o termo com x somando 1 em ambos os lados:
-2x \ge 1.
Em seguida dividimos ambos os lados por -2 para obter x. Atenção: ao dividir uma desigualdade por um número negativo o sentido da desigualdade se inverte. Isso ocorre porque, por exemplo, 2>1 implica -2< -1. Aplicando isso aqui:
x \le -\tfrac{1}{2}.
Interpretando o resultado: todos os x menores ou iguais a -\tfrac{1}{2} tornam o radicando não negativo, então a raiz é real. O ponto x=-\tfrac{1}{2} é incluído porque aí o radicando vale zero e \sqrt{0}=0.

Resposta

\{x\in\mathbb{R}\mid x\le -\tfrac{1}{2}\}
(-\infty,-\tfrac{1}{2}]

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