Considere funções de duas variáveis reais a valores reais quaisquer. Então classifique as seguintes afirmações em verdadeiro ou falso:
Se z=f(x, y) e partial z partial x=partial z partial y então f(x, y)=c(x+y), para algum c in R.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação: “Se z=f(x,y) e partial z/partial x=partial z/partial y, então f(x,y)=c(x+y) para algum cinR.” O conteúdo principal envolve derivadas parciais e resolução de uma equação em derivadas parciais simples.

Passo 2

A condição dada é partial fpartial x(x,y)=partial fpartial y(x,y). Podemos reescrever isso como
partial fpartial x(x,y)-partial fpartial y(x,y)=0

Passo 3

Uma forma clássica de resolver essa equação é notar que ela diz que a derivada de f na direção (1,-1) é zero, ou seja, f é constante ao longo de retas x-y=constante. Logo, f deve depender apenas de x+y. Isso nos dá a forma geral
f(x,y)=g(x+y),em que g é uma função diferenciável arbitrária de uma única variável. Verificamos então que
partial fpartial x=g'(x+y)=partial fpartial y

Passo 4

Como g é geral, não precisa ser da forma linear c(x+y). Por exemplo, f(x,y)=(x+y)^2 satisfaz a igualdade das derivadas parciais mas não é do tipo c(x+y).
Portanto, a afirmação de que necessariamente f(x,y)=c(x+y) é falsa.

Resposta

Falso

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