Considere funções de duas variáveis reais a valores reais quaisquer. Então classifique as seguintes afirmações em verdadeiro ou falso:
Se
e
então
, para algum
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação: “Se z=f(x,y) e
, então
para algum
.” O conteúdo principal envolve derivadas parciais e resolução de uma equação em derivadas parciais simples.
Passo 2
A condição dada é
. Podemos reescrever isso como
Passo 3
Uma forma clássica de resolver essa equação é notar que ela diz que a derivada de
na direção
é zero, ou seja,
é constante ao longo de retas
. Logo,
deve depender apenas de
. Isso nos dá a forma geral
Passo 4
Como
é geral, não precisa ser da forma linear
. Por exemplo,
satisfaz a igualdade das derivadas parciais mas não é do tipo
.
Portanto, a afirmação de que necessariamente é falsa.
Portanto, a afirmação de que necessariamente
Resposta
Falso