Considere
. Quanto vale
?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
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c.
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = (5x^{2} + 3y^{2}) \ln(5xy) $, e precisamos encontrar a derivada parcial dessa função em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) $. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, observe que $ f(x, y) $ é o produto de duas funções:
- $ u(x, y) = 5x^{2} + 3y^{2} $
- $ v(x, y) = \ln(5xy) $
Para derivar o produto dessas duas funções em relação a $ x $, usamos a regra do produto, que diz que:
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $ e $ \frac{\partial v}{\partial x} $ separadamente.
Primeiro, para $ u(x, y) = 5x^{2} + 3y^{2} $:
- A derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $ é:
Aqui, $ 3y^{2} $ é tratado como uma constante, então sua derivada é zero.
Passo 4
Agora, para $ v(x, y) = \ln(5xy) $:
- Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de $ \ln(5xy) $ em relação a $ x $ é:
Isso porque a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} $, onde $ u = 5xy $.
Passo 5
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando, temos:
Resposta
A derivada parcial $ \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) $ é: