Considere f(x, y)=(5 x^wed>= 2+3 y^wed>= 2) ln (5 x y). Quanto vale partial f / partial x(x, y) ?
Escolha uma opção:
a. 5 x^wed>= 2+3 y^wed>= 2 / 5 x y+ln (5 x y)
b. x^wed>= 2+y^wed>= 2 / x+10 x ln (5 x y)
c. 5 x^wed>= 2+3 y^wed>= 2 / x+10 x ln (5 x y)
d. 15 x ln (5 x y)
e. 5 x^wed>= 2+3 y^wed>= 2 / x+5 x ln (5 x y)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = (5x^{2} + 3y^{2}) \ln(5xy) $, e precisamos encontrar a derivada parcial dessa função em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) $. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação para funções de várias variáveis, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, observe que $ f(x, y) $ é o produto de duas funções:
  • $ u(x, y) = 5x^{2} + 3y^{2} $
  • $ v(x, y) = \ln(5xy) $
Para derivar o produto dessas duas funções em relação a $ x $, usamos a regra do produto, que diz que:
f(x, y)

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $ e $ \frac{\partial v}{\partial x} $ separadamente.
Primeiro, para $ u(x, y) = 5x^{2} + 3y^{2} $:
  • A derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $ é:
partial upartial x
Aqui, $ 3y^{2} $ é tratado como uma constante, então sua derivada é zero.

Passo 4

Agora, para $ v(x, y) = \ln(5xy) $:
  • Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de $ \ln(5xy) $ em relação a $ x $ é:
v(x, y) = ln(5xy)
Isso porque a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} $, onde $ u = 5xy $.

Passo 5

Agora, aplicando a regra do produto:
partial fpartial x = u cdot partial vpartial x + v cdot partial upartial x = (5x^2 + 3y^2) cdot 1x + ln(5xy) cdot 10x
Simplificando, temos:
partial fpartial x(x, y) = 5x^2 + 3y^2x + 10x ln(5xy)

Resposta

A derivada parcial $ \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) $ é:
partial fpartial x(x, y)

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