Dadas as funções
f(x)=ll x^2+2 & se x <=-1 1x-2 & se -1<x<1 4-x^2 & se x >= 1 e g(x)=2-3 x
determine as leis que definem f circ g e g circ f.

Passo 1

O enunciado pede as composições
Para cada composição precisamos substituir (para ) e em (para ), cuidando dos intervalos onde cada ramo de vale.]

Passo 2

Determinação de (fcirc g)(x).
Defina u=g(x)=2-3x. A regra de f muda conforme u<= -1, -1<u<1 ou u>=1. Vamos achar os intervalos em x para cada caso:

Passo 3

Resolver as desigualdades em
logo (\tfrac13< x<1].

Passo 4

Agora aplicamos f(u) em cada intervalo:
  • Para x>=1 temos u<= -1, então
(fcirc g)(x) =(u)^2+2 =(2-3x)^2+2
  • Para tfrac13< x<1 temos -1<u<1, então
(fcirc g)(x) =1u-2 =1(2-3x)-2 =-13x
  • Para x<= tfrac13 temos u>=1, então
(fcirc g)(x) =4 - u^2 =4 - (2-3x)^2

Passo 5

Determinação de (gcirc f)(x).
Aqui gl(f(x)r)=2-3,f(x). Como f(x) é piecewise, basta calcular em cada ramo de f:
  • Se x<= -1, f(x)=x^2+2, logo
(gcirc f)(x) =2-3l(x^2+2r) =-3x^2-6+2 =-3x^2-4
  • Se -1<x<1, f(x)=1x-2, logo
(gcirc f)(x) =2 - 3,x-2, =2(x-2)-3x-2 =2x-7x-2
  • Se x>=1, f(x)=4 - x^2, logo
(gcirc f)(x) =2 -3l(4 - x^2r) =2-12+3x^2 =3x^2-10

Resposta

(fcirc g)(x)= (2-3x)^2+2, & x>=1,[6pt] -dfrac13x, & tfrac13< x<1,[6pt] 4-(2-3x)^2, & x<=tfrac13,
(gcirc f)(x)= -3x^2-4, & x<= -1,[6pt] dfrac2x-7x-2, & -1<x<1,[6pt] 3x^2-10, & x>=1 ]

Exercícios relacionados